两个随机变量函数的分布

0 x1 0 z x 1 0 x1 z 1 x z

也即
如图所示:
于是
z dx z , 0 z 1 0 1 pZ ( z ) z 1 dx 2 z , 1 z 2 0, 其它
2.极值分布
p( x , z x ) d x .

当 X, Y 独立时, p Z ( z )也可表示为
源自文库
pZ ( z )


p X ( z y ) pY ( y ) d y,
或
pZ ( z )


p X ( x) pY ( z x) d x.

卷积公式
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
概率
1 12
1 12
3 12
2 12
1 12
2 12
2 12
1 1 ( X ,Y ) ( 1,2) (1,1) (1,0) ,2 ,1 ( 3,2) ( 3,0) 2 2
X Y 3 X Y 1
2 0
1 1
3 2 5 2
1 2 3 2
( X ,Y ) Z X Y
(1 ,2 ) (1 ,4 ) ( 3 ,2 ) ( 3 ,4 )
3 5 5 7 7 0.28
所以
5 0.54
例3 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为
X P 0 0 .5 1 0 .5
试求 : Z max( X , Y ) 的分布律 . 解 因为 X与Y相互独立 , 所以 P { X i ,Y j } P { X i } P {Y j }, Y 0 1 X 于是 1 22 1 22 0 1 22 1 22 1
i =1 i 1
n
n
i =1
例5 若X和Y 独立,具有共同的概率密度
1, 0 x 1 p( x ) , 求Z=X+Y的概率密度 . 0, 其它 解: 由卷积公式
pZ ( z ) p X ( x ) pY ( z x )dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
第3-5节 两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重 , Z 表示该人的血压 , 并且已知 Z 与 X , Y 的函数关系 Z f ( X , Y ), 如何通过 X , Y 的 分布确定 Z 的分布 .
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服 n 从正态分布, 且若X i ~ N ( i , i 2 ), i 1, 2, , n, Z = ki X i
2 1 2 2 2 2
2 1
则Z ~ N ( ki i , ki2 i2 )
例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布.
例8 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且其分布密 度分别为 e y , y 0, 1, 0 x 1, f X ( x) fY ( y ) 0, 其它. 0, 其它. 求随机变量 Z=2X+Y 的分布密度. 解 由于 X 与Y 相互独立,所以 ( X,Y ) 的分布密 度函数为 e y , 0 x 1, y 0, f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 其它 . 0,
解 由于 p X ( x) pY ( y ) 1 e 2 y 2
x2 2
, x ,
1 2 e , y , 2

由公式
pZ ( z )
p X ( x) pY ( z x) d x.
得
pZ (z)


1 e 2
z2 4


z y
z

p ( x, y ) d x ] d y
p (u y, y ) d u ] d y

z


[


[


p (u y, y ) d y ] d u.
由此可得概率密度函数为
pZ ( z )


p ( z y, y ) d y.
由于X 与Y 对称, p Z ( z )
为了解决类似的问题,下面 我们讨论两个随机变量函数的分布.
二、离散型随机变量函数的分布
例1 设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为
X 1 1 2 3
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12 0
0
3 12 0 2 12
求 (1) X Y , ( 2) X Y 的分布律 .
1 P { X z ,Y z } 1 P { X z } P {Y z }
1 [1 P{ X z}] [1 P{Y z}]
1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
故有
Fmax ( z ) FX ( z ) FY ( z ), Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
推广
设 X 1 , X 2 ,, X n 是 n 个相互独立的随机变 量, 它们的分布函数分别为 FX i ( xi ), ( i 1,2,, n) 则M max(X 1 , X 2 ,, X n )及N min( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布函数分别为 Fmax ( z ) FX 1 ( z ) FX 2 ( z ) FX n ( z ), Fmin ( z ) 1 [1 FX 1 ( z )][1 FX 2 ( z )][1 FX n ( z )]. 若 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立且具有相同的 分布函数 F ( x) ,则
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 , 系统 L 就停止工作 , 所以这时 L 的寿命为 Z min( X ,Y ). αe αx , x 0, 1 e αx , x 0, 由 f X ( x) FX ( x ) x 0, x 0, 0, 0,
设 X ,Y 是两个相互独立的随机 变量 , 它们 的分布函数分别为 FX ( x ) 和 FY ( y ),
令M max( X , Y )及N min( X , Y )
则有 Fmax ( z ) P { M z } P { X z ,Y z }
P { X z } P {Y z } FX ( z ) FY ( z ). Fmin ( z ) P { N z } 1 P { N z }
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P { X xi ,Y y j } P { X xi } P {Y y j }, Y 2 4 X 得 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28
X 1 3
Y
P
2 4
0.18 0.12 0.42 0.28 Z X Y P 0.18 可得 0.12 0.42 0.28 3 0.18
(ii) 并联情况 由于当且仅当 L1 , L2 都损坏时 , 系统 L 才停止工作 , 所以这时 L 的寿命为 Z max( X ,Y ). Z max( X ,Y ) 的分布函数为 (1 e αz )(1 e βz ), z 0, Fmax ( z ) FX ( z ) FY ( z ) z 0. 0, αe αz βe βz ( α β )e ( α β ) z , z 0, f max ( z ) z 0. 0,
αe αx , x 0, f X ( x) x 0, 0,
βe βy , y 0, fY ( y ) y 0, 0,
其中 α 0, β 0 且 α β . 试分别就以上两种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.
解 (i)串联情况
x2 2
e
( z x )2 2
dx
2
1 e 2 z t x 2 1 e 2
e


z x 2
dx 1
z2 4
z2 4
e
t2
dt
2
e
.
即 Z 服从 N ( 0,2) 分布 .
说明
一般 , 设X ,Y相互独立且 X ~ N ( μ1 , σ ),Y ~ N ( μ2 , σ ).则 Z X Y 仍然服从正态分布 , 且有 Z ~ N ( μ1 μ2 , σ σ ).
解
X 1 1 2 3
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12
0
3 12 0
等价于
2 0 12 1 1 3 2 1 2 2 概率 12 12 12 12 12 12 12 1 1 ( X ,Y ) ( 1,2) (1,1) (1,0) ,2 ,1 ( 3,2) ( 3,0) 2 2
n F ( z ) 1 [ 1 F ( z )] . Fmax ( z ) [ F ( z )] , min n
例7 设系统L由两个相互独立的子系统 L1 , L2
联接而成, 连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, 如图所示.
X L1 Y L2 L1 L2 X Y
设 L1 , L2 的寿命分别为 X ,Y ,已知它们的概率密 度分别为
则随机变量函数 Z f ( X , Y )的分布律为
P{ Z zk } P{ f ( X , Y ) zk }

zk f ( xi , y j )

pij
k 1, 2,.
例2
X PX
设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
1 0 .3 3 0 .7 Y PY 2 0 .6 4 0 .4
1 5
3 3
所以 X Y , X Y 的分布律分别为
X Y 3
P
1 12
2
1 12
1
3 12
3 2
2 12
1 2
1 12
1
2 12
3
2 12
X Y P
0
1 12
1
4 12
5 2
2 12
3 2
1 12
5
2 12
3
2 12
结论
若二维离散型随机变量 的联合分布律为 P { X x i ,Y y j } pij , i , j 1,2,
βe βy , y 0, 由 fY ( y ) y 0; 0,
1 e βy , y 0, FY ( y ) y 0. 0,
Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )] 1 e ( α β ) z , z 0, z 0. 0, ( α β )e ( α β ) z , z 0, f min ( z ) z 0. 0,
P {max( X ,Y ) i } P{ X i, Y i} P { X i ,Y i }
X 0 1
Y
0 1 22 1 22
1 1 22 1 22
1 P {max( X ,Y ) 0} P {0,0} 2 , 2 P {max( X ,Y ) 1} P {1,0} P {0,1} P {1,1} 1 1 1 3 2 2 2 2. 2 2 2 2 1 故 Z max( X , Y ) Z 0 1 3 的分布律为 P 4 4
三、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 的分布
设 ( X , Y )的概率密度为 p ( x , y ), 则 Z X Y 的分布函数为 FZ ( z ) P { Z z }
x y z
p( x, y) d x d y
O
y x y z x
x u y
[