计数原理与二项式定理

高三理科午练（5）

1. 在三个不同的盒子中，分别装有不同标号的红球20个，白球15个，黄球8个．若要从盒子中任取2个球，其颜色不同的取法有________种．

2. 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有________．

3. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有________种．

4. 用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法有种

5. 某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为________(只列式，不计算)．

6. A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为________．

7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能都是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为________．8. 6个人坐在一排10个座位上．问：

(1) 空位不相邻的坐法有多少种？

(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？

(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？

8.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？

(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？

1、580

2、64

3、20

4、250

5、C330C220＋C230C320

6、105

7、472

8、解：6个人排有A66种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．

(1) 空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C47＝35种插法，故空位不相邻的坐法有A66·C47＝252 00种．

(2) 将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有A27种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A27＝302 40种．

(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类：

①4个空位各不相邻有C47种坐法；

②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C17C26种坐法；

③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C27种坐法．

综合上述，应有A66(C47＋C17C26＋C27)＝115 920种坐法．

9、解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有C14C24C13×A22＝144种放法.

(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.

(3)确定2个空盒有C24种方法.

4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24种方法.故共有C24(C34C11A22＋C24)＝84种放法.

高三理科午练（6）

1.二项式

9

1

x

x

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

的展开式中3x的系数是_______.

2.在

20

3x

x

的展开式中，x的有理项共有_________项．

3．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为________．

4．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.

5．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2·(1－x)2＋…＋a n(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)n a n＝____________.

6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.

7．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________________．

8．若(x ＋124x )n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：

(1)展开式中所有x 的有理项；

(2)展开式中系数最大的项．

9．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.

求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；

(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；

(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；

(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.

1、-84

2、四

3、4

4、10

5、32

(3n －1) 6、6 7、29 8、解 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14

C 2n . 据题意得2×12C 1n ＝1＋14

C 2n ⇒n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T r ＋1，

由16384

1881C ()C ,2r r

r r

r r r T x --+== ∴r 为4的倍数，又0≤r ≤8，∴r ＝0,4,8. 故有理项为16300044181()C ,2

T x x -⨯== 163444458135()C 28

T x x -⨯＝＝， 163888498211()C 2256T x x

-⨯＝＝. (2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，则：(12)r C r 8≥(12)r ＋1C r ＋18且(12)r C r 8≥(12

)r －1C r －18⇒r ＝2或r ＝3. 故展开式中系数最大的项为163252242381()C 72

T x x -⨯＝＝， 163373344481()C 72

T x x -⨯＝＝. 9、解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①

令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②

(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.

(2)(①－②)÷2，

得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372

＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，

得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372

＝1 093. (4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，

即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1，

∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.