第二部分运算——代数第二章实数pt…整理.ppt

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从自然数、到有理数，从有理数到实数
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例如，运算律证明
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函数概念建立：例如，自然数指数幂——正数指数幂——有理指数幂——实数指数幂
第三章 有理数与实数
• 有理数与实数教学中一些问题
• 1、在初中阶段，有理数重要？还是无理数重要？--理由
• 2、为什么学生学习负数运算经常出现错误？如何改进？ • 3、为什么（--1） ×（--1）= 1 ？ • 4、你会求“85开35次方的根”吗？如何教根号2？ • 5、如何认识实数指数幂？ • 6、历史上先由对数后有指数？教学上先定义指数再引入
• 负数的意义 • 负数的表示 • 负数的运算 • 整数的运算——群、环
• 有理数运算——域 • 有理数序性质
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第三章 有理数与实数
• 有理数与实数的功能：
• 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式
• 实数概念认识
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——从无限循环小数到无限不循环小数（序）
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——有上界有理数集合等价类（序--确界定义）
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第三章 有理数与实数——负数
• 从自然数到负数：
• 负数的运算
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为什么（-1）×（-1）= 1 ？
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——什么是规定的？什么是可以推证的？
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一个很好探究活动：梳理所有与负数有关的内容
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哪些是关键环节？
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如何对待这些环节减少运算错误？
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反思如何提高运算能力？
• 负数的表示
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代数意义：符号与数值
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几何意义：坐标轴上方向与绝对值
第三章 有理数与实数
• 有理数与实数的功能：
• 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量）
• 实数基数性质
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——自然数、有理数、实数
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——连续统假设—哲学思考
• 实数不同结构性质的相关性与一致性：
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——相关性：例如，运算与顺序
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——一致性：例如，确界、极限、连续
• 与中小学数学联系：
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讨论许多数学问题过程：
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百分数——相对性
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量、数的比和比值：
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相同量不同取值的比
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不同量的比
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正比例关系与反比例关系
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模型：路程、速度与时间，总价、单价与数量等
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分数的表示
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每一个分数可以化为有限小数或无限循环小数
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每一个有限小数或无限循环小数可以表述为分数，且后者可化为前者
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每种表示的作用：
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例如，用分数很容易说明有理数运算的封闭性的表示，
第三章 有理数与实数
• 有理数与实数的功能：
• 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式
• 实数概念认识
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——从无限循环小数到无限不循环小数（序）
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——有上界有理数集合等价类（序--确界定义）
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——单调递增有理数列的等价类（序）
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——戴德金分割的等价类（序）
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——有理哥西数列的等价类（完备）
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——无穷有界有理数集合的聚点（完备）
第三章 有理数与实数
• 有理数与实数的功能：
• 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量）
• 实数代数结构
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——实数运算
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——有理数域扩充
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——实数域
• 实数序结构
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——稠密性
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——界与确界（连续性）
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第三章 有理数与实数
• 有理数与实数的功能：
• 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量）
• 实数度量（拓扑）结构
对数？为什么？ • 7、从有理数拓展到实数关键思想是什么？ • 8、结合高中数学需要用到哪些实数性质？
第三章 有理数与实数
• 有理数与实数的功能：
• 万物皆数——从自然数到有理数
• 从自然数到分数：
• 分数的意义 • 分数的表示：小数与分数 • 分数的性质——等价类、序性质 • 分数的运算
• 从自然数到负数：
• 与中小学数学联系：
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从无限循环小数（分数）到无限不循环小数（序）
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运算性质证明
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序性质证明
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第三章 有理数与实数
• 有理数与实数的功能：
• 实数理论（1）：从有理数到实数 的不同方式
• 实数运算
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实数域
• 实数中几个问题——
• ——会计算85开34次方吗？如何教根号2？（教学） • ——整数指数幂—分数指数幂---实数指数幂---指数函数---指数函数性质---对数函数 • ——代数数与超越数 • ——圆周率与自然对数
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用无限循环小数证明运算封闭，就比较困难。
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第三章 有理数与实数——分数
• 万物皆数——从自然数到有理数
• 从自然数到分数：
• 分数的性质
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分数相等与不等
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分数基本性质：分数与分数的值——等价分类
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分数基本性质与商不变性
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分数稠密性
Байду номын сангаас
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分数有序性、无界性
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• 分数的运算
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分数加、减、乘、除运算的封闭性
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——单调递增有理数列的等价类（序）
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——戴德金分割的等价类（序）
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——有理哥西数列的等价类（完备）
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——无穷有界有理数集合的聚点（完备）
• 实数运算
• 实数中几个问题——
• ——会计算85开34次方吗？如何教根号2？（教学） • ——整数指数幂—分数指数幂---实数指数幂---指数函数---指数函数性质---对数函数 • ——代数数与超越数
• ——圆周率与自然对数
第三章 有理数与实数
• 有理数与实数的功能：
• 实数理论（2）：实数结构（代数、序、度量）
• 实数代数结构
•
——实数运算
•
——有理数域扩充
•
——实数域
• 实数序结构
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——稠密性
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——界与确界（连续性）
• 实数度量（拓扑）结构
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——距离：反身性、对称性、三角不等式
•
——极限与连续
第二部分
运算——代数
第三章 有理数与实数
首都师范大学 王尚志
第三章 有理数与实数
• 有理数与实数教学中一些问题
• 1、在初中阶段，有理数重要？还是无理数重要？--理由
• 2、为什么学生学习负数运算经常出现错误？如何改进？ • 3、为什么（--1） ×（--1）= 1 ？ • 4、你会求“85开35次方的根”吗？如何教根号2？ • 5、如何认识实数指数幂？ • 6、历史上先由对数后有指数？教学上先定义指数再引入
•
——距离：反身性、对称性、三角不等式
•
——极限与连续
•
——实数是研究函数基础：
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函数极限、连续、界、确界
• 与中小学联系：
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例如，绝对值与不等关系
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认识基本初等函数定义：
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幂函数、指（对）数函数、三角函数
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认识函数性质：反函数存在性——严格单调连续函数存在反函数
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单调性证明
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连续函数的值域——最小值与最大值（无穷）
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第三章 有理数与实数——负数
• 从自然数到负数：
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整数的运算——群、环
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整数与加法运算——群与对称性
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整数与加、乘运算——环
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具有两种运算的运算结构 ——经常使用的环结构
• 有理数运算——域
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有理数加、减、乘、除运算——域
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有理数域拓展
• 有理数序性质
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有理数与线性序（全序）
•
稠密性
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自同构
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对数？为什么？ • 7、从有理数拓展到实数关键思想是什么？ • 8、结合高中数学需要用到哪些实数性质？
谢 谢！
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——实数是研究函数基础
• 实数基数性质
•
——自然数、有理数、实数
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——连续统假设—哲学思考
• 实数性质一致性
第三章 有理数与实数——分数
• 万物皆数——从自然数到有理数
• 从自然数到分数：
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分数与小数的意义
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除的结果：
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单位、
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数量、
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特殊单位：小数
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商不变原则与分数基本性质（值的一致性）、
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分数相对性与绝对性
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小数加、减、乘、除运算的封闭性——有限小数与无限循环小数
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分数（小数）加、减、除运算的关键统一单位
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分数（小数）乘运算产生新的单位
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第三章 有理数与实数——负数
• 从自然数到负数：
• 负数的意义
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实际背景：具有相反意义的量
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数学背景：减法运算的封闭性
• 负数的表示
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代数意义：符号与数值
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几何意义：方向与绝对值