2.2二次函数模型及应用
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模型检验与应用
检验所得结果符合实际，可以解决类似问题。
高教社
问题2：某商场试销一种成本为60元的服装，规定试销 期间每件利润不得高于成本价的45%。经试销发现，销 售量与销售单价符合如下表所示的关系。
销售单 … 价（元） 销售量 （件） … 60 60 65 55 70 50 75 45 80 40 … …
高教社
模型假设
（1）销售单价为x元，销售量为y件，销售利润 为Z元； （2）销售单价不低于成本单价
高教社
模型构成
销售单价每增加5元，销售量就减少5件。销售量与销售单 价之间呈线性关系，因此满足一次函数模型，即y=kx+b， 任意选取表中的两组数据代入可求得k=-1，b=120，则 y=-x+120.所以，销售量y与销售单价x的函数模型为一次 函数。商品的销售利润=（销售单价-成本单价）x销售量， 则z=-x2+180x-7200
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
高教社
某该型号汽车在国道上发生了一次交通事故， 现场测得刹车距离为46.5m，请推测该汽车刹 车时的速度
第2章 函数模型及应用
第2节 二次函数模型及应用（2）
高教社
问题1：某租赁公司拥有汽车100辆。当每辆车的月 租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租 金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆。租 出的车每辆每月需要维护费150元，未出租的车每 辆每月需要维护费50元。 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多 少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的 月收益最大？最大月收益是多少？
模型检验与应用
检验所得结果符合实际，可以解决类似问题。
高教社
问题2 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续
向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测 定某种型号的刹车性能，对这种汽车进行测试，测得数据如下 表：
速度v （km/ h） 0 10 20 30 40 50 60
刹车距 0 离s（m）
高教社
模型解析
2 z ( x 90 ) 900 通过配方得到
函数的定义域为（70≤x≤87），在此区间上是增函数。 当x=87时，取得最大值891.故销售单价定为87元时，可 使销售利润最大，最大为891元
模型检验与应用
检验所得结果符合实际，可以解决类似问题。
高教社
布置作业
训练与提高
筐也看做一个点；
（3）过乔丹的脚和篮筐在地面的投影的直线为
x轴，乔丹身体所在直线为y轴，建立平面直角
坐标系。
高教社
模型构成
将题目中的提供的数据转化点的坐标，利用顶 点式求出抛物线解析式，建立二次函数模型
1 2 y x 4 3.37 16
高教社
模型解析
进而分析“投中”的含义：抛物线经过点 （6.25,3.05），再进行验证发现x=6.25时， y≈3.05,乔丹投篮命中
高教社
第2章 函数模型及应用
第2节 二次函数模型及应用
高教社
数学建模程式
模型准备
1、审题：把问题问题情景译为数 学语言，找出问题主要关系。
↓
←————
——————————————— —
建模假设
↓ 模型构成 ↓ 模型解析 ↓
2、建模：把实际问题主要关系近
似化，形式化，抽象成数学问题。 3、解模：把数学问题化为常规问
高教社
模型解析
(1)当每辆车的月租金定为3600元，未租出的车辆 为 3600 3000 ，这时租出了88辆车； 12 50 1 2 （2）配方得 y 50 ( x 4050 ) 307050 ，所以，当 x=4050时，ymax=307050.即当每辆车的月租金定为 4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为 307050元
题，选择合适的数学方法求解。
. 4、检验：对求解的结果进行验证
建 模 五 步 法
或评估，对错误加以调节，或将结
果应用于现实，作出解释或预测。
模型检验与应用———
高教社
建模五步法
1、模型准备：把问题中所学要的知识点罗列出来. 2、模型假设：把问题理想化，排除外观因素影响. 3、模型构成：把实际问题主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题. 4、模型解析：把数学问题化为常规问题，选择合适的数学方法求解. 5、模型检验与应用：对求解的结果进行验证或评估，对错误加以调节，或将 结果应用于现实，作出解释或预测.
高教社
模型准备
（1）二次函数图像及函数的单调性 （2）月收益=月租金收益-租出车辆每月的维 护费-未租出车辆每月的维护费
高教社
模型假设
（1）每辆车的月租金定为x元，租赁公司ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ月 收益为y元； （2）租车过程中不产生其他费用。
高教社
模型构成
x 3000 未租出的车辆数 ， 租出去的车辆 50 x 3000 x 3000 100 月租金收益 x(100 ) 50 50 x 3000 ) 租出去车辆每月的维护费 150 x(100 50 x 3000 未租出去车辆 50 x 50 租赁公司的月收益为 x 3000 x 3000 y ( x 150 )(100 ) 50 x 50 50
请根据以上数据作出分析，试建立销售量与销售单价的 函数模型，以及销售单价与销售利润的函数模型。根据 你所建立的函数模型指出销售单价定为多少时，才能使 销售利润最大？最大销售利润是多少？
高教社
模型准备
（1）一次函数与二次函数模型的实际应用
（2）单件商品利润=单件商品售价-单件商品
进价；
商品销售额=单件商品销售价x商品销售量； 商品的销售利润=商品的销售额-商品的销售 成本=（销售单价-成本单价）x销售量 商品售价=商品标价x折扣率
高教社
模型准备
篮球飞行的数据是实际问题中的数量关系，平面直角坐 标系中点的坐标和函数关系是数学的表示方法。通过对函数
解析式和点的坐标的计算，将篮球能否入筐的实际问题就转
化为点（球筐）是否在抛物线（球的运动轨迹）上的数学问 题，发现篮筐对应的点在抛物线上，意味着投篮可以命中目 标。
高教社
模型假设
（1）乔丹投篮时身体、篮球、篮筐中心同在一 个竖直的平面内； （2）篮球视为一个点，运动轨迹为抛物线，球
高教社
问题1:老乔丹在38岁时第二次复出，表现依然神勇， 在全场比赛还剩最后一秒时，华盛顿奇才仍以2分 落后于纽约尼克斯，在这关键时刻，乔丹在三分 线外出手了！已知篮球的飞行路线为抛物线，乔 丹出手高度为2.37米，篮球飞行了4米后达到最高 3.37米，问乔丹此次能否力挽狂澜？（三分线是 以篮筐为中心在地面的投影为圆心，6.25米为半 径的半圆，篮筐的高度为3.05米）
检验所得结果符合实际，可以解决类似问题。
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问题2：某商场试销一种成本为60元的服装，规定试销 期间每件利润不得高于成本价的45%。经试销发现，销 售量与销售单价符合如下表所示的关系。
销售单 … 价（元） 销售量 （件） … 60 60 65 55 70 50 75 45 80 40 … …
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模型假设
（1）销售单价为x元，销售量为y件，销售利润 为Z元； （2）销售单价不低于成本单价
高教社
模型构成
销售单价每增加5元，销售量就减少5件。销售量与销售单 价之间呈线性关系，因此满足一次函数模型，即y=kx+b， 任意选取表中的两组数据代入可求得k=-1，b=120，则 y=-x+120.所以，销售量y与销售单价x的函数模型为一次 函数。商品的销售利润=（销售单价-成本单价）x销售量， 则z=-x2+180x-7200
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
高教社
某该型号汽车在国道上发生了一次交通事故， 现场测得刹车距离为46.5m，请推测该汽车刹 车时的速度
第2章 函数模型及应用
第2节 二次函数模型及应用（2）
高教社
问题1：某租赁公司拥有汽车100辆。当每辆车的月 租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租 金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆。租 出的车每辆每月需要维护费150元，未出租的车每 辆每月需要维护费50元。 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多 少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的 月收益最大？最大月收益是多少？
模型检验与应用
检验所得结果符合实际，可以解决类似问题。
高教社
问题2 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续
向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测 定某种型号的刹车性能，对这种汽车进行测试，测得数据如下 表：
速度v （km/ h） 0 10 20 30 40 50 60
刹车距 0 离s（m）
高教社
模型解析
2 z ( x 90 ) 900 通过配方得到
函数的定义域为（70≤x≤87），在此区间上是增函数。 当x=87时，取得最大值891.故销售单价定为87元时，可 使销售利润最大，最大为891元
模型检验与应用
检验所得结果符合实际，可以解决类似问题。
高教社
布置作业
训练与提高
筐也看做一个点；
（3）过乔丹的脚和篮筐在地面的投影的直线为
x轴，乔丹身体所在直线为y轴，建立平面直角
坐标系。
高教社
模型构成
将题目中的提供的数据转化点的坐标，利用顶 点式求出抛物线解析式，建立二次函数模型
1 2 y x 4 3.37 16
高教社
模型解析
进而分析“投中”的含义：抛物线经过点 （6.25,3.05），再进行验证发现x=6.25时， y≈3.05,乔丹投篮命中
高教社
第2章 函数模型及应用
第2节 二次函数模型及应用
高教社
数学建模程式
模型准备
1、审题：把问题问题情景译为数 学语言，找出问题主要关系。
↓
←————
——————————————— —
建模假设
↓ 模型构成 ↓ 模型解析 ↓
2、建模：把实际问题主要关系近
似化，形式化，抽象成数学问题。 3、解模：把数学问题化为常规问
高教社
模型解析
(1)当每辆车的月租金定为3600元，未租出的车辆 为 3600 3000 ，这时租出了88辆车； 12 50 1 2 （2）配方得 y 50 ( x 4050 ) 307050 ，所以，当 x=4050时，ymax=307050.即当每辆车的月租金定为 4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为 307050元
题，选择合适的数学方法求解。
. 4、检验：对求解的结果进行验证
建 模 五 步 法
或评估，对错误加以调节，或将结
果应用于现实，作出解释或预测。
模型检验与应用———
高教社
建模五步法
1、模型准备：把问题中所学要的知识点罗列出来. 2、模型假设：把问题理想化，排除外观因素影响. 3、模型构成：把实际问题主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题. 4、模型解析：把数学问题化为常规问题，选择合适的数学方法求解. 5、模型检验与应用：对求解的结果进行验证或评估，对错误加以调节，或将 结果应用于现实，作出解释或预测.
高教社
模型准备
（1）二次函数图像及函数的单调性 （2）月收益=月租金收益-租出车辆每月的维 护费-未租出车辆每月的维护费
高教社
模型假设
（1）每辆车的月租金定为x元，租赁公司ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ月 收益为y元； （2）租车过程中不产生其他费用。
高教社
模型构成
x 3000 未租出的车辆数 ， 租出去的车辆 50 x 3000 x 3000 100 月租金收益 x(100 ) 50 50 x 3000 ) 租出去车辆每月的维护费 150 x(100 50 x 3000 未租出去车辆 50 x 50 租赁公司的月收益为 x 3000 x 3000 y ( x 150 )(100 ) 50 x 50 50
请根据以上数据作出分析，试建立销售量与销售单价的 函数模型，以及销售单价与销售利润的函数模型。根据 你所建立的函数模型指出销售单价定为多少时，才能使 销售利润最大？最大销售利润是多少？
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模型准备
（1）一次函数与二次函数模型的实际应用
（2）单件商品利润=单件商品售价-单件商品
进价；
商品销售额=单件商品销售价x商品销售量； 商品的销售利润=商品的销售额-商品的销售 成本=（销售单价-成本单价）x销售量 商品售价=商品标价x折扣率
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篮球飞行的数据是实际问题中的数量关系，平面直角坐 标系中点的坐标和函数关系是数学的表示方法。通过对函数
解析式和点的坐标的计算，将篮球能否入筐的实际问题就转
化为点（球筐）是否在抛物线（球的运动轨迹）上的数学问 题，发现篮筐对应的点在抛物线上，意味着投篮可以命中目 标。
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模型假设
（1）乔丹投篮时身体、篮球、篮筐中心同在一 个竖直的平面内； （2）篮球视为一个点，运动轨迹为抛物线，球
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问题1:老乔丹在38岁时第二次复出，表现依然神勇， 在全场比赛还剩最后一秒时，华盛顿奇才仍以2分 落后于纽约尼克斯，在这关键时刻，乔丹在三分 线外出手了！已知篮球的飞行路线为抛物线，乔 丹出手高度为2.37米，篮球飞行了4米后达到最高 3.37米，问乔丹此次能否力挽狂澜？（三分线是 以篮筐为中心在地面的投影为圆心，6.25米为半 径的半圆，篮筐的高度为3.05米）