第二章-随机向量
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(3)设X1,X2,⋯,Xn为n个同阶的随机矩阵，则 E(X1+X2+⋯+ Xn)=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)
二、协方差矩阵
协方差定义为
Cov x, y E x E x y E y
若Cov(x,y)=0，则称x和y不相关。 两个独立的随机变量必然不相关，但两个不相关的
两个子向量之间的协差阵。熟悉这四块子矩阵的含
义很有益处。
协差阵的性质
（1）协差阵是非负定阵，即Σ≥0。 推论 若|Σ|≠0，则Σ>0。 （2）设A为常数矩阵，b为常数向量，则
V Ax b AV x A
(1) f (x1,
, xp ) 0，对一切实数x1,
,
x
；
p
(2)
f (x1,
, xp ) d x1
d xp 1。
四、边缘分布
设x是p维随机向量，由它的q(<p) 个分量组成的向量
x不(1妨)的设分x布1称为x1x,的关, xq于，x(1则)的对边连缘续分型布的。分布，有
三、多元概率密度函数
一元的情形：
F(a) a f xd x,
f x dFx
dx
多元的情形：
F(a1,
,ap)
a1
ap
f
( x1,
, xp ) d x1
d xp
f (x1,
,
xp)
x1
p x p
F (x1,
, xp )
多元密度f (x1, ⋯,xp)的性质：
随机向量
一、多元概率分布
一个向量，若它的分量都是随机变量，则称之为随 机向量。
随机变量x的分布函数：
Fa Px a
随机向量 x x1, x2, , xp 的分布函数： F a1,a2, ,ap P x1 a1, x2 a2, , xp ap
n个连续型随机向量的独立
f x1, , xn f1 x1 fn xn
在实际应用中，若随机向量之间的取值互不影响，
则认为它们之间是相互独立的。
数字特征
一、数学期望（均值） 二、协方差矩阵 三、相关矩阵
一、数学期望（均值）
随机向量 x (x1, x2, , xp )的数学期望
V x1
Cov x1, x2
Cov
x1, xp
Cov
x2
,
x1
V x2
Cov
x2 , xp
Cov xp , x1 Cov xp , x2
V xp
V(x)亦记作Σ=(σij)，其中σij=Cov(xi,xj)。
E
x2q
E xp1 E xp2
E xpq
随机矩阵X的数学期望的性质
(1)设a为常数，则 E(aX)=aE(X)
(2)设A,B,C为常数矩阵，则 E(AXB+C)=AE(X)B+C
特别地，对于随机向量x，有 E(Ax)=AE(x)
随机变量未必独立。 当x=y时，协方差即为方差，也就是
Cov x, x V x
x x1, x2, , xp 和y y1, y2, , yq 的协方差矩阵 （简称协差阵）定义为
Cov( x, y ) E[ x E( x )][ y E( y )]'
Cov x, y Cov y, x
若Cov(x,y)=0，则称x和y不相关。
两个独立的随机向量必然不相关，但两个不相关的随机向量 未必独立。
x=y时的协差阵Cov(x,x)称为x的协差阵，记作V(x)，即
V x E x E x x E x
E
[
xp
E(
xp
)][
y1
E(
y1
)]
E
[
xp
E(
xp
)][
yq
E(
yq
)]
cov( x1 , y1 ) cov( x1 , yq )
cov
(
x
p
,
y1
)
cov( xp , yq )
x和y的协方差矩阵与y和x的协差阵互为转置关系，即有
x1 x1, , xq 的条件密度定义为
f x1,
, xq | xq1,
, xp
f
f2
x1, , xp xq1, , xp
或表达为
f x
f
x1 | x2
f2
x2
六、独立性
两个连续型随机向量的独立
f x, y fx x fy y
y1
E(
y1
),
xp E( xp )
yq E( yq )
E[ x1 E( x1 )][ y1 E( y1 )] E[ x1 E( x1 )][ yq E( yq )]
f1 (x1, , xq ) f (x1, , xp ) d xq1 d xp
五、条件分布
设 x x1, , xp 是p维连续型的随机向量，在给
定 x2 xq1, , xp f2 x2 0 的条件下，
协差阵Σ既包含了x各分量的方差，也包含了每两个 分量之间的协方差。显然，Σ是一个对称矩阵。
例2.3.1 随机向量一分为二后，其协差阵分为四块：
V
x y
V Cov
x
y, x
Cov x, y
V y
其中，对角线块为子向量的协差阵，非对角线块为
E x E x1, E x2 , , E xp
记为μ=(μ1,μ2,⋯,μp)′。
随机矩阵X=(xij)的数学期望
E
x11
E x12
E
x1q
E X E xij
E
x21
E x22
二、协方差矩阵
协方差定义为
Cov x, y E x E x y E y
若Cov(x,y)=0，则称x和y不相关。 两个独立的随机变量必然不相关，但两个不相关的
两个子向量之间的协差阵。熟悉这四块子矩阵的含
义很有益处。
协差阵的性质
（1）协差阵是非负定阵，即Σ≥0。 推论 若|Σ|≠0，则Σ>0。 （2）设A为常数矩阵，b为常数向量，则
V Ax b AV x A
(1) f (x1,
, xp ) 0，对一切实数x1,
,
x
；
p
(2)
f (x1,
, xp ) d x1
d xp 1。
四、边缘分布
设x是p维随机向量，由它的q(<p) 个分量组成的向量
x不(1妨)的设分x布1称为x1x,的关, xq于，x(1则)的对边连缘续分型布的。分布，有
三、多元概率密度函数
一元的情形：
F(a) a f xd x,
f x dFx
dx
多元的情形：
F(a1,
,ap)
a1
ap
f
( x1,
, xp ) d x1
d xp
f (x1,
,
xp)
x1
p x p
F (x1,
, xp )
多元密度f (x1, ⋯,xp)的性质：
随机向量
一、多元概率分布
一个向量，若它的分量都是随机变量，则称之为随 机向量。
随机变量x的分布函数：
Fa Px a
随机向量 x x1, x2, , xp 的分布函数： F a1,a2, ,ap P x1 a1, x2 a2, , xp ap
n个连续型随机向量的独立
f x1, , xn f1 x1 fn xn
在实际应用中，若随机向量之间的取值互不影响，
则认为它们之间是相互独立的。
数字特征
一、数学期望（均值） 二、协方差矩阵 三、相关矩阵
一、数学期望（均值）
随机向量 x (x1, x2, , xp )的数学期望
V x1
Cov x1, x2
Cov
x1, xp
Cov
x2
,
x1
V x2
Cov
x2 , xp
Cov xp , x1 Cov xp , x2
V xp
V(x)亦记作Σ=(σij)，其中σij=Cov(xi,xj)。
E
x2q
E xp1 E xp2
E xpq
随机矩阵X的数学期望的性质
(1)设a为常数，则 E(aX)=aE(X)
(2)设A,B,C为常数矩阵，则 E(AXB+C)=AE(X)B+C
特别地，对于随机向量x，有 E(Ax)=AE(x)
随机变量未必独立。 当x=y时，协方差即为方差，也就是
Cov x, x V x
x x1, x2, , xp 和y y1, y2, , yq 的协方差矩阵 （简称协差阵）定义为
Cov( x, y ) E[ x E( x )][ y E( y )]'
Cov x, y Cov y, x
若Cov(x,y)=0，则称x和y不相关。
两个独立的随机向量必然不相关，但两个不相关的随机向量 未必独立。
x=y时的协差阵Cov(x,x)称为x的协差阵，记作V(x)，即
V x E x E x x E x
E
[
xp
E(
xp
)][
y1
E(
y1
)]
E
[
xp
E(
xp
)][
yq
E(
yq
)]
cov( x1 , y1 ) cov( x1 , yq )
cov
(
x
p
,
y1
)
cov( xp , yq )
x和y的协方差矩阵与y和x的协差阵互为转置关系，即有
x1 x1, , xq 的条件密度定义为
f x1,
, xq | xq1,
, xp
f
f2
x1, , xp xq1, , xp
或表达为
f x
f
x1 | x2
f2
x2
六、独立性
两个连续型随机向量的独立
f x, y fx x fy y
y1
E(
y1
),
xp E( xp )
yq E( yq )
E[ x1 E( x1 )][ y1 E( y1 )] E[ x1 E( x1 )][ yq E( yq )]
f1 (x1, , xq ) f (x1, , xp ) d xq1 d xp
五、条件分布
设 x x1, , xp 是p维连续型的随机向量，在给
定 x2 xq1, , xp f2 x2 0 的条件下，
协差阵Σ既包含了x各分量的方差，也包含了每两个 分量之间的协方差。显然，Σ是一个对称矩阵。
例2.3.1 随机向量一分为二后，其协差阵分为四块：
V
x y
V Cov
x
y, x
Cov x, y
V y
其中，对角线块为子向量的协差阵，非对角线块为
E x E x1, E x2 , , E xp
记为μ=(μ1,μ2,⋯,μp)′。
随机矩阵X=(xij)的数学期望
E
x11
E x12
E
x1q
E X E xij
E
x21
E x22