4-1 矩阵序列与矩阵级数

2. 矩阵级数 ∞ 收敛到 ， 矩阵级数 ∑ A( k ) 收敛到S，是指它的部分和序列
SN = ∑ A
k =0 N
k =0 (k )
收敛，且极限为 。 收敛，且极限为S。
显然矩阵级数收敛指每个元素对应的级数收敛。 显然矩阵级数收敛指每个元素对应的级数收敛。 如果每个元素对应的数项级数都是绝对收敛的， 如果每个元素对应的数项级数都是绝对收敛的， 则称矩阵级数是绝对收敛 绝对收敛的 则称矩阵级数是绝对收敛的。 性质3：若矩阵级数是绝对收敛的，则它一定是收 性质 ：若矩阵级数是绝对收敛的， 敛的， 敛的，并且任意调换其项的顺序所得到的级数仍 然是收敛的，且其和不变。 然是收敛的，且其和不变。
k =0
∞
k =0
∞ (k ) PA( k )Q = P ∑ A Q . ∑ k =0 k =0
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∞
性质6：若两个矩阵级数都绝对收敛， 性质 ：若两个矩阵级数都绝对收敛，分别收敛到 A,B，则其 乘积绝对收敛， ，则其Cauchy乘积绝对收敛，且收敛到 。 乘积绝对收敛 且收敛到AB。
定理4：方阵 的幂级数 定理 ：方阵A的幂级数
Ak 收敛的充要条件是 ∑
k =0
∞
ρ(A)<1，且收敛时的和为 ，且收敛时的和为(I-A)-1。
定理5：若方阵 对某一矩阵范数有 对某一矩阵范数有||A||<1，则部 定理 ：若方阵A对某一矩阵范数有 ， 分和I+A+…+AN与和 与和(I-A)-1之间的误差为： 之间的误差为： 分和 N +1 N A −1 k . ( I − A) − ∑ A ≤ 1− A k =0
性质4： 性质 ：矩阵级数 ∑ A( k ) 是绝对收敛的充要条件 是
∞
∑ k =0
∞
k =0
A
(k )
收敛。 收敛。
∞
A( k ) 是收敛(绝对收敛)的， 性质5： 是收敛(绝对收敛 绝对收敛)的 性质5：若矩阵级数 ∑
那么
PA( k )Q 也是收敛 绝对收敛 的，且 也是收敛(绝对收敛 绝对收敛)的 ∑
ck z k 的收敛半径为 。如果方 定理6： 的收敛半径为r。 定理 ：设幂级数 ∑
k =0 ∞
ck Ak 绝对收敛； 绝对收敛； 阵A满足ρ(A)<r，则矩阵幂级数 ∑ 满足 ， k =0 若ρ(A)>r，则矩阵幂级数发散。 ，则矩阵幂级数发散。
∞
第四章
矩阵分析及其应用
4.1 矩阵序列与矩阵级数 4.2 矩阵函数 4.3 矩阵的微分与积分
4.1 矩阵序列与矩阵级数
1. 矩阵序列 2. 矩阵级数
1. 矩阵序列
设有矩阵序列{A 设有矩阵序列 (k)=(aij(k))}，若对所有的 和j，当k ，若对所有的i和 ， 趋于无穷时， 趋于a 则称{A 收敛 收敛， 趋于无穷时，aij(k)趋于 ij，则称 (k)}收敛，并称 矩阵A=(aij)是{A(k)}的极限，记做 矩阵 是 的极限， lim A( k ) = A. k→∞ k →∞ 若对某一组i和 ， 不收敛，则称{A 发散 发散。 若对某一组 和j，aij(k)不收敛，则称 (k)}发散。 性质1： 分别收敛到A和 ， 性质 ：设A(k)和B(k)分别收敛到 和B，则 lim α A( k ) + β B ( k ) = α A + β B , k →∞ lim A( k ) B ( k ) = AB .
k →∞
性质2： 收敛到A， 都可逆， 性质 ：设A(k)收敛到 ，且A(k)和A都可逆，则 都可逆 −1 (k ) lim A = A− 1 .
k →∞
(
)
× 定理1： 定理 ：设A(k)∈Cm×n，则
(1) A(k)趋于 的充要条件是 (k)||趋于 ； 趋于0的充要条件是 的充要条件是||A 趋于 趋于0； (2) A(k)趋于 的充要条件是 (k)-A||趋于 。 趋于A的充要条件是 的充要条件是||A 趋于0。 趋于 为方阵， 趋于无穷时， 趋于0，则称A 设A为方阵，且当 趋于无穷时，Ak趋于 ，则称 为方阵 且当k趋于无穷时 收敛矩阵。 为收敛矩阵。 定理2： 是收敛矩阵的充要条件是 定理 ：A是收敛矩阵的充要条件是ρ(A)<1。 。 定理3： 是收敛矩阵的充要条件是存在某种矩阵 定理 ：A是收敛矩阵的充要条件是存在某种矩阵 范数满足||A||<1。 范数满足 。