动态几何之最值问题

动态几何之最值问题

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过全国各地中考的实例探讨其解法。

（2014年贵州安顺）如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点．点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为【 】

A.

2 B. 1 C. 2 D. 22

（2012山东济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】 A ．21 B ．5 C ．145 D ．5

2

（2013年四川德阳）如图，在圆O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知：圆O 半径为52，tan ∠ABC ＝3

4

，则CQ 的最大值是【 】

A ．5

B ．15

4

C ．253

D ．203

（2012湖北黄石）如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1

y x

=

图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】

A. 1

(,0)2 B. (1,0) C. 3(,0)2 D. 5(,0)2

（ 2013年广西贵港）如图，点A （a ，1）、B （﹣1，b ）都在双曲线3y (x<0)x

=-上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是【 】

A ．y x =

B ．y x 1=+

C ．y x 2=+

D ．y x 3=+

（2014年福建三明）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交

AB 于D ，P 是»CD

上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是 ． （2014年贵州黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线y=x 上的动点，A （1，0），B （2，0）是x 轴上的两点，则PA+PB 的最小值为 ．

（2012浙江宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC 上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．

（2012江苏扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．

（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P

是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线

翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．

（2013年广东茂名）如图，抛物线21

y ax x2

3

=-+与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．

（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；

（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；

（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．

（2014年福建福州）如图，抛物线()2

1y x 312

=--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）求点A ，B ，D 的坐标；

（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD.求证：∠AEO=∠ADC ；

（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙O 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标.

（2014年福建南平）如图，已知抛物线21

y x bx c 2

=-++图象经过A （﹣1，0），B （4，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C （m ，m ﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过点D 分别作DE ∥BC 交AC 于E ，DF ∥AC 交BC 于F ． ①求证：四边形DECF 是矩形；

②连结EF ，线段EF 的长是否存在最小值？若存在，求出EF 的最小值；若不存在，请说明理由．

（2014年山东济南）如图1，抛物线2

3y x 16

=-

平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S 影阴；

（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点，PMN ∠为直角，边MN 与AP 相交于点N ，设OM t =，试探求： ①t 为何值时，△MAN 为等腰三角形？

②t 为何值时，线段PN 的长度最小，最小长度是多少？

（2014年山东淄博）如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°的点P 有 个；

（2）若点P 在y 轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P 的坐标；

（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．