第四章 专题强化3 电磁感应中的动力学及能量问题

专题强化3电磁感应中的动力学及能量问题

[学习目标] 1.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法.2.理解电磁感应过程中能量的转化情况，能用能量的观点分析和解决电磁感应问题．

一、电磁感应中的动力学问题

电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：

(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．

(2)用闭合电路欧姆定律求回路中感应电流的大小．

(3)分析导体的受力情况(包括安培力)．

(4)列动力学方程(a≠0)或平衡方程(a＝0)求解．

例1如图1所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2 m，电阻R＝0.3 Ω接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m ＝0.1 kg、接入电路的电阻r＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，过程中ab棒始终保持与导轨垂直且接触良好．(g＝10 m/s2)

图1

(1)分析导体棒的运动性质；

(2)求导体棒所能达到的最大速度；

(3)试定性画出导体棒运动的速度－时间图象．

答案(1)做加速度减小的加速运动，最终做匀速运动(2)10 m/s(3)见解析图

解析(1)导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势：

E＝BL v①

回路中的感应电流I＝E

②

R＋r

导体棒受到的安培力F安＝BIL③

导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力F f的作用，根据牛顿第二定律有：

F －μmg －F 安＝ma ④

由①②③④得：F －μmg －B 2L 2v

R ＋r

＝ma ⑤

由⑤可知，随着速度的增大，安培力增大，加速度a 减小，当加速度a 减小到0时，速度达到最大，然后做匀速直线运动．

(2)当达到最大速度时，有F －μmg －B 2L 2v m

R ＋r ＝0

可得：v m ＝(F －μmg )(R ＋r )

B 2L 2

＝10 m/s

(3)由(1)中分析可知，导体棒运动的速度－时间图象如图所示．

例2 如图2甲所示，两根足够长的直金属导轨MN 、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L ，M 、P 两点间接有阻值为R 的电阻，一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．(重力加速度为g )

图2

(1)由b 向a 方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图；

(2)在加速下滑过程中，当ab 杆的速度大小为v 时，求此时ab 杆中的电流及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度最大值． 答案 (1)见解析图

(2)BL v R g sin θ－B 2L 2v mR (3)mgR sin θB 2L 2

解析 (1)如图所示，ab 杆受重力mg ，方向竖直向下；

支持力F N ，方向垂直于导轨平面向上；安培力F 安，方向沿导轨向上． (2)当ab 杆的速度大小为v 时，感应电动势E ＝BL v ， 则此时电路中的电流I ＝E R ＝BL v

R

ab 杆受到的安培力F 安＝BIL ＝B 2L 2v

R

根据牛顿第二定律，有

mg sin θ－F 安＝mg sin θ－B 2L 2v

R ＝ma

则a ＝g sin θ－B 2L 2v

mR

.

(3)当a ＝0时，ab 杆有最大速度v m ，即mg sin θ＝B 2L 2v m R ，解得v m ＝mgR sin θ

B 2L 2

.

电磁感应动力学问题中，要把握好受力情况、运动情况的动态分析.

基本思路是：导体受外力运动―――→E ＝Bl v

产生感应电动势―――→I ＝E

R ＋r

产生感应电流―――→F ＝BIl

导体受安培力―→合外力变化―――→F 合＝ma

加速度变化―→速度变化―→感应电动势变化……→a ＝0，v 达到最大值.

二、电磁感应中的能量问题 1．电磁感应现象中的能量转化

安培力做功⎩⎪⎨⎪

⎧

做正功：电能――→转化

机械能，如电动机做负功：机械能――→转化电能――→电流

做功

焦耳热或其他形式的能量，如发电机 2．焦耳热的计算

(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q ＝I 2Rt . (2)感应电流变化，可用以下方法分析：

①利用动能定理，求出克服安培力做的功W 安，即Q ＝W 安． ②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量．

3．解决电磁感应现象中的常用方法

(1)动能定理

涉及的功有：重力做功、摩擦力做功、安培力做功、拉力做功等．

(2)能量守恒定律

涉及的能：重力势能、电能、内能等．

(3)功能关系

安培力做功↔电能变化

滑动摩擦力做功↔内能变化

重力做功↔重力势能变化

弹力做功↔弹性势能变化

例3如图3所示，足够长的平行光滑U形导轨倾斜放置，所在平面的倾角θ＝37°，导轨间的距离L＝1.0 m，下端连接R＝1.6 Ω的电阻，导轨电阻不计，所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0 T．质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直放置于导轨上，现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F＝5.0 N的恒力使金属棒ab从静止开始沿导轨向上滑行且始终与导轨接触良好，当金属棒滑行s＝2.8 m后速度保持不变．求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)

图3

(1)金属棒匀速运动时的速度大小v；

(2)金属棒从静止到开始匀速运动的过程中，电阻R上产生的热量Q R.

答案(1)4 m/s(2)1.28 J

解析(1)金属棒匀速运动时产生的感应电流为I＝BL v

R＋r 由平衡条件有F＝mg sin θ＋BIL

联立并代入数据解得v＝4 m/s.

(2)设整个电路中产生的热量为Q，由动能定理得Fs－mgs·sin θ－W安＝1

2m v

2，而Q＝W安，

Q R＝R

R＋r

Q，联立并代入数据解得Q R＝1.28 J.

例4(多选)如图4所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨倾角为θ，导轨下端接有电阻R，匀强磁场垂直斜面向上．质量为m、电阻不计的金属棒ab在沿斜面向上且与棒垂直的恒力F