3.2.2定积分中值定理

１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．
思考题
定 积 分 性 质 中 指 出 ， 若 f ( x ), g ( x ) 在[ a , b ] 上 都 可 积 ， 则 f ( x ) g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在[ a , b ] 上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
a g ( x ) dx .
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2 证
b
a kf
a kf
0
b
( x ) dx k f ( x ) dx
a
b
(k 为 常 数 ).
( x ) dx lim
n
0
n
kf ( i ) x i
i1
lim k f ( i ) x i k lim
,
0

1 4 4
dx

0
1 3 sin 1
3
dx x 3 .
0

1 3
dx ,

0
3 sin
3
dx x

例 3
估计积分
2 4
sin x x
dx 的 值 .
解
f (x) f ( x )
sin x x
,
x[ , ] 4 2
x cos x sin x x
思考题解答
由 f ( x ) g ( x ) 或 f ( x ) g ( x ) 在[ a , b ] 上 可 积 ， 不 能 断 言 f ( x ), g ( x ) 在 [ a , b ] 上 都 可 积 。
例
1 , x 为有理数 f (x) 0， x 为无理数
0 , x 为有理数 g( x) 1， x 为无理数
分 成 a , c 与 c , b ， 则
f ( x ) dx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
2 、 如 果 f ( x ) 在 a , b 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为
M 与 m ，则

a
f ( x ) dx 有 如 下 估 计 式 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _
g ( x ) f ( x ) 0,
a [ g ( x ) a g ( x ) dx
b
b
f ( x )]dx 0 ,
a
b
f ( x ) dx 0 ,
b
于是
a
b
f ( x )dx
a g ( x )dx .
性质5的推论： （2） a f ( x )dx a f ( x ) dx 证
b
_______________________ ； 3、当 a b 时 ， 我 们 规 定

b
f ( x ) dx 与
a

a
f ( x ) dx 的 关
b
系 是 ______________________ ； 4、 积 分 中 值 公 式

b a
f ( x ) dx f ( )( b a ) , ( a b ) 的 几 何 意 义 是
1
b
f ( x ) dx ,
即 f ( x )dx f ( )( b a ) . ( a b ) a 积分中值公式的几何解释：
y
f ( )
在 区 间 [a , b ]上 至 少 存 在 一 个 点 ，使 得 以 区 间 [ a , b ] 为
底边，
以曲线 y f (x)
x 0
1
二、证明：

b a
kf ( x ) dx k
b a
f ( x ) dx （ k 是常数 ） .
三、估计下列积分 四、证明不等式：

1
3 3 3 2
xarc cot xdx 的 值 .
x 1dx
2 .
六、用定积分定义和性质求极限: 1 、 lim (
n
1 n1



2 e
0
x
dx
x
2 x dx ,
2
于是 e dx x dx . 0 0
2
性质5的推论：
（1）如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
则
a

b
f ( x )dx
a g ( x )dx
b
.
(a b )
证
f ( x ) g ( x ),
i1
0
n
f ( i ) x i
i1
k f ( x ) dx .
a
b
性质3
假设a c b
a
b
f ( x ) dx
a
c
f ( x ) dx
c
b
f ( x ) dx .
补充：不论 a , b , c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c,
a
c
f ( x ) dx
b
a
b
f ( x ) dx
c
b
c
f ( x ) dx
c
则 a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx

a
c
f ( x ) dx
c
b
f ( x ) dx .
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4 1 dx dx b a . a a 性质5
显 然 f ( x ) g ( x ) 和 f ( x ) g ( x ) 在[ 0 ,1 ] 上 可 积 ， 但
f ( x ), g ( x ) 在 [ 0 ,1 ] 上 都 不 可 积 。
练习题
一、填空题： 1、 如 果 积 分 区 间 a , b 定积分的可加性为
b a
被 点 c
性质6
设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在 区 间[a , b ]上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
则
m (b a )
a
b
b
f ( x )dx M ( b a ) .
证
m f (x) M ,

a
b
m dx
a
f ( x ) dx
a
b
Mdx ,
m (b a )
_______________ ；
5、下 列 两 积 分 的 大 小 关 系 是 ： （ 1） （ 2） （ 3）


1 0 2
x dx _ _ _ _ _ x dx
2 3 0
1
1 1 0
ln xdx _ _ _ _ _ _ _ (ln x ) dx
2 1
2
e dx _ _ _ _ _ _ _ ( x 1 ) dx
a
, b 上 f ( x ) 0 ； 0 ，则
2 、 若 在 a , b 上 ， f ( x ) 0 , 且 f ( x ) 不 恒等于

b a
f ( x ) dx 0 ；
3 、 若 在 a , b 上 f ( x ) g ( x ) , 且
b a
f ( x ) dx
a
b
f ( x )dx M ( b a ).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 2
估计积分
0
1 3 sin
3
dx 的 值 . x
解
f (x)
0 sin

3
1 3 sin
x 1,

3
, x 1 4
x [ 0 , ],
1 3 sin
3
x
1 3
b
(a b )
积分中值公式
证
m (b a )
a
b
f ( x )dx M ( b a )
m
ba a
1
f ( x ) dx M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在 区 间 [ a , b ] 上 至 少 存 在 一 个 点 ，
使
f ( )
b
ba a
为曲边的曲边梯形的面积
o
a

等 于 同 一 底 边 而 高 为 f ( )
b
x
的一个矩形的面积。
例 4 设 f ( x ) 可 导 ， 且 lim 求 lim
x
f ( x ) 1，
x x
x2
t sin
3 t
f ( t )dt .
解 由积分中值定理知有 [ x , x 2 ], 使 x
2

cos x ( x tan x ) x
2
0,
f ( x )在[ ,
4

2
]上 单 调 下 降 ,
2
故x

4
为最大值点，x

为最小值点,
M f( ) 4

2 2
,
m f( ) , 2 4 ,
2 2 , 4

2
ba
2 4 1 2
如 果 在 区 间[a , b ]上 f ( x ) 0 ，
则
b
b
b
a
f ( x )dx 0 .
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0,
( i 1,2 , , n )
xi 0,


i1
n
f ( i ) x i 0,
max{ x 1 , x 2 , , x n }
b
b
.
(a b )
f (x) f (x) f (x),

即
a
b
f ( x ) dx
a
b
f ( x ) dx
a
b
f ( x ) dx ,
a
b
f ( x )dx
a
b
f ( x ) dx .
说明： | f ( x ) |在 区 间 [ a , b ] 上 的 可积性是显然的.
b
b
b
.
a [ f ( x )
n
b
g ( x )] dx
lim lim

[ f ( i ) 0 0
b
g ( i )] x i
i1 n
f ( i ) x i lim
b
i1
0
n
g ( i ) x i
i1
a
f ( x ) dx
lim
0
n
f ( i ) x i
i1
a
b
f ( x ) dx 0 .
例 1
比较积分值
2 0
e dx 和
x
2 0
x dx 的 大 小 .
解
令 f (x) e x x,
f ( x ) 0,
x [ 2, 0]

0
2
0
(e
x
x ) dx 0 ,
n
1 n 2 xdx .
...
1 2n
);
2 . 、 lim
七 、 设 f ( x ) 及 g ( x )在 a , b 上 连 续 ， 证 明 ： 1 、 若 在 a , b 上 f ( x ) 0 , 且
n

4 0
sin

b a
f ( x ) dx 0 ， 则 在
1 2

1 0
dx 4 2x x
2
x
3
arcsin
3 5
.
定积分中值定理
一、基本内容
对定积分的补充规定:
（ 1 ） 当 a b 时 ， f ( x ) dx 0 ；
a b
（ 2） 当 a b 时 ，
a
b
f ( x ) dx
a b
f ( x ) dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 [ f ( x ) g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx a a a 证
lim
x2
t sin
x2
3 t
f ( t )dt sin 3 t
3
f ( )( x 2 x ), 3 f ( )
x x
t sin
f ( t )dt 2 lim sin


2 lim 3 f ( ) 6 .

二、小结

2


4

ห้องสมุดไป่ตู้
2 4
sin x x
dx


2 4
sin x x
dx
2 2
.
性质7（定积分中值定理）
如 果 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间[ a , b ] 上 连 续 ，
则 在 积 分 区 间[a , b ] 上 至 少 存 在 一 个 点 ，
使
a
b
f ( x )dx f ( )( b a ) .
a
3、
f ( x ) dx
a

f ( x ) dx ；
b
4、 曲 边 梯 形 各 部 分 面 积 的 代 数 和 等 于
f ( ) 与 b a 为邻 边 的 矩 形 面 积 ；
5、 (1)>； (2)>； (3)>. 3 2 1 x arctan xdx ； 三 、 1、 9 3 3 2、

b a
g ( x ) dx ， 则 在 a , b 上 f ( x ) g ( x ) .
练习题答案
一 、 1、

c a
f ( x ) dx

b a
b c
f ( x ) dx ；
2、 m (b a )
b

f ( x ) dx M ( b a ) , a b ；