数学建模--微分、积分和微分方程.

定积分
f(x)dx lim
a Δ 0
b
n1 i0
f(ξ i )(x i1 x i )
三种方法计算数值积分
（1）定义法，取近似和的极限。

高等数学中不是重点内容 但数值积分的各种算法却是基于定义建立的 不定积分是求导的逆运算， 而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积） 表面上看是两个完全不同的概念， 通过牛顿－莱布尼兹公式联系在一起，


创建符号方程
。
符号微积分(极限）
limit(‘表达式’,var,a)：求当var →a， 表达式的极限 例：求极限：
sin(x) sin(3x) lim x 0 sin(x)
syms x a I1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0) 运行结果
符号微积分(求导）
解微分方程的 Eular折线法
◆ 观 察 : 确 定 方 程
dy dx
sin(x),
0 x π
y (x )
过 (0 ,0 )点 的 解 曲 线 并 求 定 积 分
解微分方程的 Eular折线法
将区间n = 4等分（共有5个分点)；计算分点和 相应的函数值

（x(1),x(2), x(3) x(4) x(5)) （f(1),f(2) ,f(3) ,f(4) ,f(5))
（2）用不定积分计算定积分。

（3）解微分方程计算定积分
微积分学基本定理
dF(x) 如 果 F (x )是 f (x )的 原 函 数 ， 即 dx f(x)
， 则
f(x)dx F(b) F(a) a 将 b 视 为 变 量 ， 改 记 为 x
F(x) F(a)

b
diff(f,‘var’,n) 求 f 对变量var 的n阶导数 缺省n时为求一阶导数 缺省变量'var' 时，默认变量为x 可用来求单变量函数导数 多变量函数的偏导数 还可以求抽象函数的导数
符号微积分(求导）
例：求
1 d 2 x 2 (e cos(3x )) dx
syms x y f=sym('exp(-2*x) * cos(3 * x^(1/2))') diff(f,x) 运行
符号微积分
用Matlab符号工具箱 （Symbolic Toolbox） 可以进行符号演算
符号微积分(创建符号变量）
sym var

创建单个符号变量；
syms var1 var2 …
创建多个符号变量； f=sym(‘符号表达式’) 创建符号表达式，赋予f； equ=sym('equation')
在 第 一 个 子 区 间 [x(1),x(2)] 上 ， 画 出 折 线 段 y(2)=y(1)+f(1)*(x-x(1))代替解曲线段y(x)，

这里y(1)=y0=0 折线段的起点为[x(1), y(1)]，终点为[x(2),y(2)].
运行 exp4_1.m ，观察第二、三、四子区间的 情况。
实验四
微分、积分和微分方 程
定积分--连续求和
有 限 个 数 f1 , f 2 , , f n 的 和 S
x 1 f x 是 有 意 义 的
n
无 限 可 数 个 数 f1 , f 2 , , f x , f x1 , 的 和
S

x 1
f x lim
n

n x 1
求函数f的定积分或广义积分 例：求不定积分

sin(xy z)dz
syms x y z I1=int(sin(x*y+z),z)
符号微积分(积分）
3 2x x2 2 ）求定积分和广义积分 1
1 0
1
dx, dx,

3 2x x
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2
syms x y z I2=int(1/(3+2*x+x^2),x,0,1) I3=int(1/(3+2*x+x^2),x,-inf,inf)
， 则

x a
f(x)dx
为 f(x )的 原 函 数
特别，F(b)-F(a) 就是所需的定积分. 在高等数学中总是期望求出不定积分的封闭解. 但数值积分是更有用的工具。 牛顿－莱布尼兹公式不愧为微积分的“基本定理”。
基本定理的推广（解微分方程计算定积分）
◆ 设 函 数 y y ( x ),
a x b 连 续 可 微 ， 如 果
代 入 端 点 求 y (b )的 值 ， 就 得 到 定 积 分
基本定理的推广（解微分方程计算定积分）
推
广
一 般 可 考 虑 一 阶 常 微 分 方 程 初 值 问 题 ： dy f ( x , y ), y ( a ) y 0 dx 求 解 析 解 增 加 很 大 的 难 度 数 值 解 则 没 有 本 质 困 难 。
fx
可 能 有 意 义 （ 级 数 收 敛 ） 、 也 可 能 没 有 意 义 （ 级 数 发 散 ）
定积分--连续求和
无 限 个 不 可 数 的 数 { f x , x [ a , b ]} ， 写 成 函 数 形 式
{ f ( x ), x [ a , b ]}
， 它 们 的 和 是 ?
符号微积分(求导）
例：求 f(x, y, g(x, y)), x
2 x 2
f(x, y, g(x, y))
syms x y

g=sym('g(x,y)') f=sym('f(x,y,g(x,y))') diff(f,x) diff(f,x,2)
运行
符号微积分(积分）
int(f,var)：求函数f的不定积分； int(f, var, 积分下限，积分上限)：
符号微积分(化简、提取和代入)
符号运算的结果比较繁琐，使用化简指令可对 其进行化简。
但是不能指望机器可以完成一切，人的推理往 往必须的。 常用的化简指令如下 展开指令：expand(表达式)； 因式分解：factor(表达式) 降幂排列：collect（表达式，var） ； 一般化简：simplify(A)；
dy f (x) dx
且 曲 线 y = y ( x ) 过 (a , y =
y
０
)点 ， 则
y(x) y
0
0

a
x
f ( t ) dt ，
◆ 令 初 始 值 y 就 是 定 积 分
◆ ◆ ◆
0 ， 则
y (b )
a
b
f ( t ) dt
dy f (x) ， y (a )= 0 的 解 也 就 是 求 微 分 方 程 dx y y ( x ), a x b