隐函数的求导方法

dy Fx =− . dx Fy
隐函数的求导公式
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当方程 F ( x , y ) = 0 能唯一确定一个单值连续且具 有连续导数的函数 y = f ( x )时，求隐函数的导数 可以采用下述方法： 可以采用下述方法：
第一种方法： 第一种方法：在方程 F ( x , y ) = 0 两边对 x 求导， 的函数， 求导，把 y 看作是 x 的函数，利用复合函数的 求导法则， 的一元方程， 求导法则，得到一个关于 y' ( x ) 的一元方程，解 这个一元方程即可。 这个一元方程即
隐函数存在定理 2 设函数F ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , 的某一邻域内有连续的偏导数， y0 , z0 ) = 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ，则方程F ( x , y , z ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ，它满足条件 z0 = f ( x0 , y0 ) ， 并有
Fx ∂z =− ， Fz ∂x
Fy ∂z =− . ∂y Fz
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当方程 F ( x , y , z ) = 0 能唯一确定一个单值连续且具 有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) 时，求隐函数的偏 导数可以采用下述方法： 导数可以采用下述方法： 第一种方法： 第一种方法：在方程 F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 或 y 求偏导数，把 z 看作是 x 和 y 的函数，利用复 求偏导数， 的函数，
∂x ∂x 0 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y
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整理得
∂x f u + xzf v =− , f u + yzf v ∂y
把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得
∂y ∂y 1 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
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一、基本内容
1. F ( x , y ) = 0
隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数， 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x )，它满足条件 y0 = f ( x0 )，并 有
∂z ∂z 合函数的求导法则， 合函数的求导法则 ， 得到一个关于 ∂x 或 ∂y 的一
元方程，解这个一元方程即可。 元方程，解这个一元方程即可。
第 二 种 方 法 ： 在 方 程 F ( x, y, z ) = 0 两 边 求 微 看成相互独立的变量， 分 ， 把 x 、 y 、 z 看成相互独立的变量 ， 得到一 的一次方程， 个关于 dx 、 dy 、 dz 的一次方程 ，解这个一次方 ∂z ∂z 程得到 dz = Adx + Bdy ， A 就是 ∂x ， B 就是 ∂y 。
第二种方法： 第二种方法：在方程 F ( x , y ) = 0 两边求微 看成相互独立的变量， 分，把 x 和 y 看成相互独立的变量，得到一个 的一次方程， 关于 dx 和 dy 的一次方程，解这个一次方程得到 dy dy = Adx ， A 就是 dx 。
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2. F ( x , y , z ) = 0
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dy y 例 1 已知 ln x + y = arctan ，求 . x dx
2 2
解 在方程两边求微分得
y 1 1 1 ⋅ 2 ⋅ d( x2 + y2 ) = ⋅ d ( ), 2 x + y2 y 2 x 1+ ( ) x
即
xdx + ydy = xdy − ydx
dy x + y = dx x − y
( 2 − z )2 + x 2 . = 3 (2 − z )
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∂z ∂x ∂y 例 3 设 z = f ( x + y + z , xyz ) ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂z
∂z 思路： 思路：把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 ， ∂x ∂x z, 把 x 看成 z , y 的函数对 y 求偏导数得 ， ∂y ∂y 把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得 . ∂z 解 令 u = x + y + z , v = xyz ,
则 z = f ( u, v ),
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Baidu Nhomakorabea
把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得
∂z ∂z ∂z = f u ⋅ (1 + ) + f v ⋅ ( yz + xy ), ∂x ∂x ∂x ∂z f u + yzf v , = 整理得 ∂x 1 − f u − xyf v
把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得
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所以
∂ z 例 2 设 x + y + z − 4 z = 0 ，求 2 . ∂x
2
2 2 2
在方程两边求微分， 解 在方程两边求微分，得
2 xdx + 2 ydy + 2 zdz − 4dz = 0,
则
y x x ∂z , = dz = dx + dy , ∂x 2 − z 2− z 2− z x ∂z (2 − z ) + x ⋅ 2 (2 − z ) + x ∂ z 2− z ∂x = = 2 ∂x 2 ( 2 − z )2 (2 − z )
整理得
∂y 1 − f u − xyfv . = f u + xzf v ∂z
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