第三章 单纯形法(1,2两节)
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有了定理5，求线性规划问题的最优解可不必在 无穷多的可行解中搜索，只需在有限个基本可行解 中搜索即可。虽然基本可行解至多有个，当n、m较 大时， 仍是一个很大的数字。
第一节 线性规划问题的几何意义
例如: 当n=5，m=2，基本矩阵的个数可能为 10个，所谓可能为，就说明还有一些不是，这还 需要一个一个的判断。所以对比较大是线性规划 问题用穷举法将所有的基本可行解都找出并计算 其目标函数值，选取最优，计算量很大甚至是行 不通的。著名的单纯形法用迭代法而不用穷举法 很好地解决了这个问题。
第一节 线性规划问题的几何意义
线性规划问题的解 1.可行解 ：满足线性规划问题全部约束条件的解。 所有可行解的集合称为可行域。 2.最优解 ：在线性规划问题的可行解中，使目标函 数值达到最优的解。 3.基本解及基本可行解
在线性规划问题约束条件方程中，由与约束条 件个数相等的若干个系数列向量组成的满秩矩阵叫 基本矩阵。 一个有n个变量m个约束（m≤n）的线 性规划问题至多可以有Cnm个基本矩阵所谓满秩矩 阵，就是给这个矩阵作行线性变换不会出现某一行 元素
第三章 单纯形法
本章主要介绍求解线性规划问题的单纯形 法及解的类型，其基本要求为：
1. 理解凸集的极点（顶点）与线性规划问题 解的关系。
2. 熟练掌握单纯形法的迭代过程和应用。 3. 熟悉线性规划问题的标准型掌握两阶段法
和大M法。 4.了解改进单纯形法。
知识结构
凸集、线性规划问题的解
解的几何意义 凸集的极点与基本可行解
第二节 单纯形法
本节主要介绍单纯形法的计算步骤及线性 规划解的讨论方面的内容
一．单纯形法的基本思路 求出线性规划问题的初始基本可行解X（0），并充分 运用它提供的信息，编制初始单纯形表。 判别X（0）是否最优？为此，需要建立一个判别标准。 如X（0）不是最优，就将一个基变量换出，将一个非 基变量换入，组成另一组基本可行解，迭代为另一张 单纯形表，使新的目标函数值较原有的为优。如此逐 步迭代，若问题有最优解，那么经有限次迭代就可求 出最优解。
第二节 单纯形法
为此还要引入惩罚因子M，M是一个非常大 的正数，用它和人工变量一起对目标函数 进行修整，M的作用就是强制人工变量为 零，一旦不为零该问题就没有最优解，关 于这一点后面还有论述。这样上面的模型 就变为：
第二节 单纯形法
max Z = - 6x1 - 4x2 - M x5- M x6
简单的说，就是“通过基本矩阵求得的线性规划 问题的解”。
第一节 线性规划问题的几何意义
基本解的形式是 X=（x1*, x2*,…, xm*,0,0,…,0） ， 基变量 非基变量
若每一个分量大于或等于零，这个解就叫基本可行解。 三、 凸集的极点与线性规划问题的基本可行解 定理1 约束条件为AX=b，X≥0线性规划问题的可行解
第一节 线性规划问题的几何意义
2.极点: 设K是凸集，X∈K ；若X不能用不同的两点 X(1) ∈K ， X(2) ∈K 的线性组合表示为X=αX（1）+ （1-α）X（2） （0<α<1） ，则称此点是K的一个极点 或顶点，其直观意义就是X不是K中任何线段的内点， 也就是说点X不能在以K内的任意两点为端点的线段 上。如三角形、长方体的顶点就是凸集的集点。
2x1 + x2 –x3 +x5 =2
只要有一个人工变量不
3x1 +4x2 -x4 +x6 =5
为零，目标函数将永远
xj ≥ 0 j=1,2,3,4,5,6
不能求得最大值
由人工变量 x5，x6系数列向量构成的矩阵（单位矩阵）就是一个
满秩矩阵，以它为基本矩阵，x5，x6为基变量求得的基本解为：
（x1，x2， x3，x4， x5，x6）=（0， 0，0，0，2，5）
第一节 线性规划问题的几何意义
全为零的情况(与方程组有关的线性变换不考虑列变 换)；所谓矩阵的行线性变换就是给矩阵的某一行元素 同乘以一个非零常数或给矩阵的某一行同乘以非零常 数后再加到另一行，过程与我们中学学过的解方程组 的消元法完全一致。详细内容请参看文献（3）中与 此有关的内容。
令不与基本矩阵中列向量对应的变量（这些变量 就叫非基变量 ）为零后，约束方程中剩余的与基本矩 阵对应的变量就可唯一求得（这些变量就叫基变量）， 求得的这个解就叫基本解（参看课本16页）。
请按如下思路理解：以X（1）、X（2））（X（1）≠X（2））为 端点的线段上的任一点都可以表示为[αX（1）+（1-α）X（2）] （0<α<1）当α在（0，1）之间变化时，上式表示的点就在以X （1）、X（2）为端点的线段上滑动，（α=1/2时，在二维空间中 （初等平面解析几何中），上式就是中点坐标）。这与前面的 定义实质上是一致的。
解：设各生产甲、乙、丙三种产品x1 、x2 、x3个 单位，建立模型如下： max Z =4x1 +x2 +5x3 6x1 +3x2 +5x3 ≤45 3x1 +4x2 +5x3 ≤30 xj≥0，i=1，2，3 用单纯形法求解，先引入松弛变量x4 、x5化为标 准型如下：
第二节 单纯形法
3．构造单纯形表
基本初始解构造出来以后，就可以列出初始单纯形表。
下面用一道例题给出单纯形法完整的解题过程。
例题：某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表。
原料
产品
原料
消耗 甲 乙 丙 限量
A B 单件利润
6
3
5
45
3
4
5
30
4
1
5
求使该厂获利最大的生产计划。
第二节 单纯形法
在上一章第三节我们已经得出这样的结论，若两 个或三个变量的线性规划问题的最优解存在，则可以 在问题的可行域的顶点上达到。这个结论可以推广到 三个以上变量的线性规划问题上去，以下内容是与此 有关的说明与论证。
凸集。若任意两点X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））在 某个点集中，且连接这两点的线段上的所有点也在这 个点集之中，称这个点集为凸集。
x1 +2x2 +2x3 +x4=8
3x1+ 4x2 +x3 +x5=7
xj≥0，i=1，2，…5
观察 x4 , x5 的系数列向量分别为
1 0
和10
，可以构成基本矩
阵（单位矩阵），因而不需要加任何变量直接就能求出基本可行解。
第二节 单纯形法
再看课本 20 页的例题 1，当化为标准型后，变量 x3 的系数 列向量为10 ，所以只需要再构造出一个变量的系数列向量 为10 即可，所以本题只对第一个等式约束引入了人工变量 来构造基本矩阵。
通过上面的分析可以发现，得出的基本解之所 以不可行，主要由于x3 、x4的系数为“-1”，那么 能不能构造出一个系数为0或1的基本矩阵呢？答 案是肯定的，但必须引入人工变量。 过程如下：
给约束1、2 分别引入人工变量x5，x6，（x5， x6≥0）并加在约束方程的左端。注意：在一个等 式两端同时加上一个变量是合理的，但只在一端加 上一个变量就是不合理的，这种行为必须受到惩罚， 直到加上的变量成为零，这种做法才是合理的。
决策变量 多余变量 人工变量
非基变量
基变量
所有的分量都大于或等于零，因而是基本可行解。
第二节 单纯形法
对于等式约束如何求初始基本可行解有两种方法。
（1） 一是在约束方程的一端加入人工变量，使系数能够构造一个
单位矩阵，但并不是每一个等式约束都要这样作，如：
max Z =5x1 +2x2 +3x3 -x4 +x5
1 0
0 1
，由
文献（3）中的知识可知该矩阵是形式最简单的满秩矩阵（单位矩阵），因而
可以作为基本矩阵。
2．求基本解的方法：
令所有的非基变量全为零，就可以解出基变量的值。例 2 中由单位矩
阵解出的基本解为 x4= 100，x5 =120。此时，线性规划问题的基本解为： （x1，x2，x3，x4，x5）=（0，0，0，100，120） 非基变量 基变量
第二节 单纯形法
由可行解的概念，它就是基本可行解。
把初始可行解代入两个约束方程中，等式成立。 由解析数学知识可知，以该解为坐标的点必然是以 两个约束方程为解析式的图形的公共交点（顶点）。 还可以这样理解，以这两个约束方程联立求得的解 为坐标的点，必然是以两个约束方程为解析式的图 形的公共交点（顶点）。这一点对理解单纯形法的 基本过程尤为重要。
第一节 线性规划问题的几何意义
X（1） X（2）
（A）
X（1）
X（2）
（B）
第一节 线性规划问题的几何意义
凸集定义的另外一种表示形式： 设X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））是n维欧氏空间（高等数
学中常用名词，参看文献（3）中的一个点集，任意两点X（1）、 X （ 2 ） ∈ K 的 连 线 上 一 切 点 [αX （ 1 ） + （ 1-α ） X （ 2 ） ] ∈K （0<α<1）,则称K为凸集。
第二节 单纯形法
例题： max Z = - 6x1 - 4x2 2x1 + x2 ≥2 3x1 +4x2 ≥5 xj ≥ 0 j=1，2
分析； 对两个“≥”型约束，分别引入多余变量 x3 、x4化为标准型如下。
第二节 单Biblioteka Baidu形法
max Z = - 6x1 - 4x2 2x1 + x2 –x3 =2 3x1 +4x2 -x4 =5 xj ≥ 0 j=1，2
第二节 单纯形法
二、基本过程及主要方法
1．如何寻找初始基本可行解X（0）。 初始基本可行解就是迭代开始时的基本可行解。
既然是基本可行解，必须和一个基本矩阵相对应， 这个基本矩阵就是系数列向量组成的满秩矩阵 （参看文献（3）中矩阵部分的内容），但对由m 个系数列向量组成的矩阵判断是否满秩本身就是 一件很不容易的事情，即使满秩了对应的解也不 一定是可行解。参看课本16页例题的最后一部分。
单纯形法的基本思路
单
单纯形法
单纯形表迭代过程
纯
有关名词、概念
形
目标函数为最小的问题
法 再论单纯形法
大M法、两阶段法
选择基本矩阵的方法总结
解的讨论 解的四种形式及判断方法
改进单纯形法 改进单纯形法的优点
第一节 线性规划问题的几何意义
本节主要介绍凸集的概念及凸集的顶点与 线性规划问题可行解的关系，为理解单纯形法 的解题思路打下基础。
矩阵由，x3因、而x可4的以系作数为列基向本量矩构阵成，的但矩求阵出仍的然基是本一解满为秩： （x1，x2，x3，x4）=（0，0，-2，-5） 非基变量 基变量
基本解中有小于零的分量，所以不是可行解。看 来，要想采用和“≤”型约束一致的方法寻求初始基 本可行解是行不通的，必须寻求其它方法。
第二节 单纯形法
以上分析说明，必须寻找一种简便而又合理 的方法。下面就结合课本上的例题（为了便于大 家验证计算结果）谈一谈寻找方法。
第二节 单纯形法
大家前面已经学过，化一般线性规划模型为标准型时，对“≤”约束
引入了松弛变量，松弛变量对应的系数列向量是非常特殊的。在课本例题 2
中（16
页），x4,x5是松弛变量，对应的系数列向量组成的矩阵为
集是凸集。 定理3 线性规划问题的基本可行解 X对应于可行域D的
极点。
第一节 线性规划问题的几何意义
定理4 线性规划问题若有可行解必有基本可行解。换句 话说，线性规划问题的可行域D如为非空凸集，则 必有极点。
定理5 线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域 D的极点上达到。
注意：这并不是说，只有极点才能使目标函数值最大， 其它点不能。而是说，如在其它点上使目标函数值 达到最大，则一定可以找到一个极点X（m）使目标 函数值达到此最大值。
其实，所有由“≤”约束构成的线性规划问题模 型一旦化成标准型，所有松弛变量对应的系数列向 量必然构成一个满秩的基本矩阵（是单位矩阵）。
第二节 单纯形法
以松弛变量为基变量，求得的基本解也一定 是基本可行解（因为标准型中等式约束右端的系 数是大于或等于零的）。对由“≥”型约束构成的 线性规划模型，其基本矩阵的选取较为复杂。因 为将“≥”型约束化为等式约束时，在原不等式的 左边减去了一个多余变量，由于多余变量的系数 为-1，虽然能构成基本矩阵，求出基本解，但不能 得到可行解。下面结合例题讲述。
因此，是否引入人工变量，必须在观察完所有变量的系 数列向量后才能确定，这一点在做题过程中一定要注意，否 则由于引入了太多的变量会使问题更为复杂。
第二节 单纯形法
（2）用下面的例子说明另一种方法。 如有一个约束条件方程是2X1+3X2-4X3=5,这
可以用以下两个约束条件方程来代替：
2X1+3X2-4X3≤5 2X1+3X2-4X3≥5 在这两个方程中，可分别加进松弛变量或减多 余变量加入人工变量，再求初始基本可行解，但是 有些复杂，一般希望用第一种方法，也可用第四章 的对偶单纯形法直接求解。
第一节 线性规划问题的几何意义
例如: 当n=5，m=2，基本矩阵的个数可能为 10个，所谓可能为，就说明还有一些不是，这还 需要一个一个的判断。所以对比较大是线性规划 问题用穷举法将所有的基本可行解都找出并计算 其目标函数值，选取最优，计算量很大甚至是行 不通的。著名的单纯形法用迭代法而不用穷举法 很好地解决了这个问题。
第一节 线性规划问题的几何意义
线性规划问题的解 1.可行解 ：满足线性规划问题全部约束条件的解。 所有可行解的集合称为可行域。 2.最优解 ：在线性规划问题的可行解中，使目标函 数值达到最优的解。 3.基本解及基本可行解
在线性规划问题约束条件方程中，由与约束条 件个数相等的若干个系数列向量组成的满秩矩阵叫 基本矩阵。 一个有n个变量m个约束（m≤n）的线 性规划问题至多可以有Cnm个基本矩阵所谓满秩矩 阵，就是给这个矩阵作行线性变换不会出现某一行 元素
第三章 单纯形法
本章主要介绍求解线性规划问题的单纯形 法及解的类型，其基本要求为：
1. 理解凸集的极点（顶点）与线性规划问题 解的关系。
2. 熟练掌握单纯形法的迭代过程和应用。 3. 熟悉线性规划问题的标准型掌握两阶段法
和大M法。 4.了解改进单纯形法。
知识结构
凸集、线性规划问题的解
解的几何意义 凸集的极点与基本可行解
第二节 单纯形法
本节主要介绍单纯形法的计算步骤及线性 规划解的讨论方面的内容
一．单纯形法的基本思路 求出线性规划问题的初始基本可行解X（0），并充分 运用它提供的信息，编制初始单纯形表。 判别X（0）是否最优？为此，需要建立一个判别标准。 如X（0）不是最优，就将一个基变量换出，将一个非 基变量换入，组成另一组基本可行解，迭代为另一张 单纯形表，使新的目标函数值较原有的为优。如此逐 步迭代，若问题有最优解，那么经有限次迭代就可求 出最优解。
第二节 单纯形法
为此还要引入惩罚因子M，M是一个非常大 的正数，用它和人工变量一起对目标函数 进行修整，M的作用就是强制人工变量为 零，一旦不为零该问题就没有最优解，关 于这一点后面还有论述。这样上面的模型 就变为：
第二节 单纯形法
max Z = - 6x1 - 4x2 - M x5- M x6
简单的说，就是“通过基本矩阵求得的线性规划 问题的解”。
第一节 线性规划问题的几何意义
基本解的形式是 X=（x1*, x2*,…, xm*,0,0,…,0） ， 基变量 非基变量
若每一个分量大于或等于零，这个解就叫基本可行解。 三、 凸集的极点与线性规划问题的基本可行解 定理1 约束条件为AX=b，X≥0线性规划问题的可行解
第一节 线性规划问题的几何意义
2.极点: 设K是凸集，X∈K ；若X不能用不同的两点 X(1) ∈K ， X(2) ∈K 的线性组合表示为X=αX（1）+ （1-α）X（2） （0<α<1） ，则称此点是K的一个极点 或顶点，其直观意义就是X不是K中任何线段的内点， 也就是说点X不能在以K内的任意两点为端点的线段 上。如三角形、长方体的顶点就是凸集的集点。
2x1 + x2 –x3 +x5 =2
只要有一个人工变量不
3x1 +4x2 -x4 +x6 =5
为零，目标函数将永远
xj ≥ 0 j=1,2,3,4,5,6
不能求得最大值
由人工变量 x5，x6系数列向量构成的矩阵（单位矩阵）就是一个
满秩矩阵，以它为基本矩阵，x5，x6为基变量求得的基本解为：
（x1，x2， x3，x4， x5，x6）=（0， 0，0，0，2，5）
第一节 线性规划问题的几何意义
全为零的情况(与方程组有关的线性变换不考虑列变 换)；所谓矩阵的行线性变换就是给矩阵的某一行元素 同乘以一个非零常数或给矩阵的某一行同乘以非零常 数后再加到另一行，过程与我们中学学过的解方程组 的消元法完全一致。详细内容请参看文献（3）中与 此有关的内容。
令不与基本矩阵中列向量对应的变量（这些变量 就叫非基变量 ）为零后，约束方程中剩余的与基本矩 阵对应的变量就可唯一求得（这些变量就叫基变量）， 求得的这个解就叫基本解（参看课本16页）。
请按如下思路理解：以X（1）、X（2））（X（1）≠X（2））为 端点的线段上的任一点都可以表示为[αX（1）+（1-α）X（2）] （0<α<1）当α在（0，1）之间变化时，上式表示的点就在以X （1）、X（2）为端点的线段上滑动，（α=1/2时，在二维空间中 （初等平面解析几何中），上式就是中点坐标）。这与前面的 定义实质上是一致的。
解：设各生产甲、乙、丙三种产品x1 、x2 、x3个 单位，建立模型如下： max Z =4x1 +x2 +5x3 6x1 +3x2 +5x3 ≤45 3x1 +4x2 +5x3 ≤30 xj≥0，i=1，2，3 用单纯形法求解，先引入松弛变量x4 、x5化为标 准型如下：
第二节 单纯形法
3．构造单纯形表
基本初始解构造出来以后，就可以列出初始单纯形表。
下面用一道例题给出单纯形法完整的解题过程。
例题：某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表。
原料
产品
原料
消耗 甲 乙 丙 限量
A B 单件利润
6
3
5
45
3
4
5
30
4
1
5
求使该厂获利最大的生产计划。
第二节 单纯形法
在上一章第三节我们已经得出这样的结论，若两 个或三个变量的线性规划问题的最优解存在，则可以 在问题的可行域的顶点上达到。这个结论可以推广到 三个以上变量的线性规划问题上去，以下内容是与此 有关的说明与论证。
凸集。若任意两点X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））在 某个点集中，且连接这两点的线段上的所有点也在这 个点集之中，称这个点集为凸集。
x1 +2x2 +2x3 +x4=8
3x1+ 4x2 +x3 +x5=7
xj≥0，i=1，2，…5
观察 x4 , x5 的系数列向量分别为
1 0
和10
，可以构成基本矩
阵（单位矩阵），因而不需要加任何变量直接就能求出基本可行解。
第二节 单纯形法
再看课本 20 页的例题 1，当化为标准型后，变量 x3 的系数 列向量为10 ，所以只需要再构造出一个变量的系数列向量 为10 即可，所以本题只对第一个等式约束引入了人工变量 来构造基本矩阵。
通过上面的分析可以发现，得出的基本解之所 以不可行，主要由于x3 、x4的系数为“-1”，那么 能不能构造出一个系数为0或1的基本矩阵呢？答 案是肯定的，但必须引入人工变量。 过程如下：
给约束1、2 分别引入人工变量x5，x6，（x5， x6≥0）并加在约束方程的左端。注意：在一个等 式两端同时加上一个变量是合理的，但只在一端加 上一个变量就是不合理的，这种行为必须受到惩罚， 直到加上的变量成为零，这种做法才是合理的。
决策变量 多余变量 人工变量
非基变量
基变量
所有的分量都大于或等于零，因而是基本可行解。
第二节 单纯形法
对于等式约束如何求初始基本可行解有两种方法。
（1） 一是在约束方程的一端加入人工变量，使系数能够构造一个
单位矩阵，但并不是每一个等式约束都要这样作，如：
max Z =5x1 +2x2 +3x3 -x4 +x5
1 0
0 1
，由
文献（3）中的知识可知该矩阵是形式最简单的满秩矩阵（单位矩阵），因而
可以作为基本矩阵。
2．求基本解的方法：
令所有的非基变量全为零，就可以解出基变量的值。例 2 中由单位矩
阵解出的基本解为 x4= 100，x5 =120。此时，线性规划问题的基本解为： （x1，x2，x3，x4，x5）=（0，0，0，100，120） 非基变量 基变量
第二节 单纯形法
由可行解的概念，它就是基本可行解。
把初始可行解代入两个约束方程中，等式成立。 由解析数学知识可知，以该解为坐标的点必然是以 两个约束方程为解析式的图形的公共交点（顶点）。 还可以这样理解，以这两个约束方程联立求得的解 为坐标的点，必然是以两个约束方程为解析式的图 形的公共交点（顶点）。这一点对理解单纯形法的 基本过程尤为重要。
第一节 线性规划问题的几何意义
X（1） X（2）
（A）
X（1）
X（2）
（B）
第一节 线性规划问题的几何意义
凸集定义的另外一种表示形式： 设X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））是n维欧氏空间（高等数
学中常用名词，参看文献（3）中的一个点集，任意两点X（1）、 X （ 2 ） ∈ K 的 连 线 上 一 切 点 [αX （ 1 ） + （ 1-α ） X （ 2 ） ] ∈K （0<α<1）,则称K为凸集。
第二节 单纯形法
例题： max Z = - 6x1 - 4x2 2x1 + x2 ≥2 3x1 +4x2 ≥5 xj ≥ 0 j=1，2
分析； 对两个“≥”型约束，分别引入多余变量 x3 、x4化为标准型如下。
第二节 单Biblioteka Baidu形法
max Z = - 6x1 - 4x2 2x1 + x2 –x3 =2 3x1 +4x2 -x4 =5 xj ≥ 0 j=1，2
第二节 单纯形法
二、基本过程及主要方法
1．如何寻找初始基本可行解X（0）。 初始基本可行解就是迭代开始时的基本可行解。
既然是基本可行解，必须和一个基本矩阵相对应， 这个基本矩阵就是系数列向量组成的满秩矩阵 （参看文献（3）中矩阵部分的内容），但对由m 个系数列向量组成的矩阵判断是否满秩本身就是 一件很不容易的事情，即使满秩了对应的解也不 一定是可行解。参看课本16页例题的最后一部分。
单纯形法的基本思路
单
单纯形法
单纯形表迭代过程
纯
有关名词、概念
形
目标函数为最小的问题
法 再论单纯形法
大M法、两阶段法
选择基本矩阵的方法总结
解的讨论 解的四种形式及判断方法
改进单纯形法 改进单纯形法的优点
第一节 线性规划问题的几何意义
本节主要介绍凸集的概念及凸集的顶点与 线性规划问题可行解的关系，为理解单纯形法 的解题思路打下基础。
矩阵由，x3因、而x可4的以系作数为列基向本量矩构阵成，的但矩求阵出仍的然基是本一解满为秩： （x1，x2，x3，x4）=（0，0，-2，-5） 非基变量 基变量
基本解中有小于零的分量，所以不是可行解。看 来，要想采用和“≤”型约束一致的方法寻求初始基 本可行解是行不通的，必须寻求其它方法。
第二节 单纯形法
以上分析说明，必须寻找一种简便而又合理 的方法。下面就结合课本上的例题（为了便于大 家验证计算结果）谈一谈寻找方法。
第二节 单纯形法
大家前面已经学过，化一般线性规划模型为标准型时，对“≤”约束
引入了松弛变量，松弛变量对应的系数列向量是非常特殊的。在课本例题 2
中（16
页），x4,x5是松弛变量，对应的系数列向量组成的矩阵为
集是凸集。 定理3 线性规划问题的基本可行解 X对应于可行域D的
极点。
第一节 线性规划问题的几何意义
定理4 线性规划问题若有可行解必有基本可行解。换句 话说，线性规划问题的可行域D如为非空凸集，则 必有极点。
定理5 线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域 D的极点上达到。
注意：这并不是说，只有极点才能使目标函数值最大， 其它点不能。而是说，如在其它点上使目标函数值 达到最大，则一定可以找到一个极点X（m）使目标 函数值达到此最大值。
其实，所有由“≤”约束构成的线性规划问题模 型一旦化成标准型，所有松弛变量对应的系数列向 量必然构成一个满秩的基本矩阵（是单位矩阵）。
第二节 单纯形法
以松弛变量为基变量，求得的基本解也一定 是基本可行解（因为标准型中等式约束右端的系 数是大于或等于零的）。对由“≥”型约束构成的 线性规划模型，其基本矩阵的选取较为复杂。因 为将“≥”型约束化为等式约束时，在原不等式的 左边减去了一个多余变量，由于多余变量的系数 为-1，虽然能构成基本矩阵，求出基本解，但不能 得到可行解。下面结合例题讲述。
因此，是否引入人工变量，必须在观察完所有变量的系 数列向量后才能确定，这一点在做题过程中一定要注意，否 则由于引入了太多的变量会使问题更为复杂。
第二节 单纯形法
（2）用下面的例子说明另一种方法。 如有一个约束条件方程是2X1+3X2-4X3=5,这
可以用以下两个约束条件方程来代替：
2X1+3X2-4X3≤5 2X1+3X2-4X3≥5 在这两个方程中，可分别加进松弛变量或减多 余变量加入人工变量，再求初始基本可行解，但是 有些复杂，一般希望用第一种方法，也可用第四章 的对偶单纯形法直接求解。