三角函数的图像与性质(课堂PPT)
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20
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研 究函数性质的基础，也是解决有关三角 函数问题的工具，这是一种数形结合的 数学思想.
作业：P34练习：2 P46习题1.4 A组: 1
21
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时
22
问题提出
t
p
1 2
5730
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
5
y
1
ysinx,x[0,2
3p
π
2
2π
O
p
x
2
-1
思考4：观察函数y=sinx在[0，2π]内的
图象，其形状、位置、凸向等有何变化
规律？
6
思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的 图象上，起关键作用的点有哪几个？
y
1
O
p
-1
2
3p
π
2
2π x
7
思 考 6 ： 当 x∈[2π ， 4π], [-2π ， 0],…时，y=sinx的图象如何？
y 1
O
π
-1
2π x
10
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
y
-1
o
x
11
思考2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的 图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的 变换而得到的？
向左平移a个单位.
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦 函数的图象，那么先要将余弦函数 y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪 个公式完成这个转化？
12
思考4：由诱导公式可知，y=cosx与
y=
数y
sin(p + = sin2(p
x) 是同一个函数，如何作函 + x)在[0，2π]内的图象？
2
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
13
思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
y 1
O
-1
2
π
2π x
16
p
3p
x
02
p 2 2p
sinx 0 1 0 -1 0
1+sinx 1 2 1 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3p
π
2
2π
O
p
x
-1
2
17
p
x
02
cosx 1 0
-cosx -1 0
3p
p 2 2p
-1 0 1
1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
2 2π
O
pπ
-1
2
x
18
例2 当x∈[0，2π]时，求不等式
2
14
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余 弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线 的分布有什么特点？
y
2
2
1 22
2
O
2
2
-1
2
2
2
x
2
2
15
理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
27
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
28
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
24
25
知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
. s in (x 2 k) s in x (k Z )
思考2：设f(x)=sinx，则sin(x2k)sinx
么？二者有何相互联系？
y 1
y=sinx
-6π
-4π
-2π -π π
O
-5π -3π
-1
y
2
2
1 22
3π 5π x
2π
4π
6π
y=cosx
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2 23
t
2.
世
界
上
有
许
多事 p
1 2
5730
物
都
呈
现
“
周
而
复
始
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
29
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
8
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
9
思考8：你能画出函数y=|sinx|， x∈[0，2π]的图象吗？
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
1
问题提出
t
p
1 2
5730
1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线
分别是什么？
y
sinα=MP
P（x，y）
cosα=OM
OM x
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值 （sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
2
3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对 应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦 函数；同样y= cosx也是一个函数，称为 余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
co s x ³ 1 的解集.
2
y
1
O
-1
2
y= 1 2
π
2π x
2
[0, p ]U[5p ,2p]
3
3
19
小结作业Байду номын сангаас
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位 重复出现，因此，只要记住它们在[0， 2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲 线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象， 是解题的基本要求，用“五点法”作图 是常用的方法.
可以怎样表示？其数学意义如何？
26
思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
4.一个函数总具有许多基本性质，要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性， 我们应从哪个方面人手？
3
4
知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0， 2π]内的图象，可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地 描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π] 内的图象？
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研 究函数性质的基础，也是解决有关三角 函数问题的工具，这是一种数形结合的 数学思想.
作业：P34练习：2 P46习题1.4 A组: 1
21
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时
22
问题提出
t
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1 2
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1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
5
y
1
ysinx,x[0,2
3p
π
2
2π
O
p
x
2
-1
思考4：观察函数y=sinx在[0，2π]内的
图象，其形状、位置、凸向等有何变化
规律？
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思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的 图象上，起关键作用的点有哪几个？
y
1
O
p
-1
2
3p
π
2
2π x
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思 考 6 ： 当 x∈[2π ， 4π], [-2π ， 0],…时，y=sinx的图象如何？
y 1
O
π
-1
2π x
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知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
y
-1
o
x
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思考2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的 图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的 变换而得到的？
向左平移a个单位.
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦 函数的图象，那么先要将余弦函数 y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪 个公式完成这个转化？
12
思考4：由诱导公式可知，y=cosx与
y=
数y
sin(p + = sin2(p
x) 是同一个函数，如何作函 + x)在[0，2π]内的图象？
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y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
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思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
y 1
O
-1
2
π
2π x
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p
3p
x
02
p 2 2p
sinx 0 1 0 -1 0
1+sinx 1 2 1 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3p
π
2
2π
O
p
x
-1
2
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p
x
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cosx 1 0
-cosx -1 0
3p
p 2 2p
-1 0 1
1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
2 2π
O
pπ
-1
2
x
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例2 当x∈[0，2π]时，求不等式
2
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思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余 弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线 的分布有什么特点？
y
2
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2
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2
x
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理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
27
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
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思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
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25
知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
. s in (x 2 k) s in x (k Z )
思考2：设f(x)=sinx，则sin(x2k)sinx
么？二者有何相互联系？
y 1
y=sinx
-6π
-4π
-2π -π π
O
-5π -3π
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3π 5π x
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4π
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y=cosx
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世
界
上
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多事 p
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物
都
呈
现
“
周
而
复
始
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
29
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
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O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
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思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
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思考8：你能画出函数y=|sinx|， x∈[0，2π]的图象吗？
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
1
问题提出
t
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1 2
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1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线
分别是什么？
y
sinα=MP
P（x，y）
cosα=OM
OM x
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值 （sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
2
3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对 应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦 函数；同样y= cosx也是一个函数，称为 余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
co s x ³ 1 的解集.
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y
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O
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y= 1 2
π
2π x
2
[0, p ]U[5p ,2p]
3
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小结作业Байду номын сангаас
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位 重复出现，因此，只要记住它们在[0， 2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲 线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象， 是解题的基本要求，用“五点法”作图 是常用的方法.
可以怎样表示？其数学意义如何？
26
思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
4.一个函数总具有许多基本性质，要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性， 我们应从哪个方面人手？
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知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0， 2π]内的图象，可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地 描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π] 内的图象？