(完整版)数列的极限讲解

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n
n
n
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例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
就有qn 0 , limqn 0. n
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例4
设xn
0,且 lim n
xn
a
0,
求证 lim n
xn
a.
证
任给 0,
lim
n
xn
a,
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
故 lim n
xn
a.
xn a xn a
xn a a
1 a
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例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
第二节数列的极限
➢一、数列极限的定义 ➢二、收敛数列的性质 ➢三、收敛准则
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概念的引入
引例设有半径为 R 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积An 逼近圆面积 S .
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
—— 刘徽割圆术 (公元三世纪)
小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
limHale Waihona Puke Baidu
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数有关.
有
xn
1
1 100
,
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
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定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
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观察上述数列当n 时的变化趋势：
可以看到, 随着n 趋于无穷, 数列的通项有以下两种变化趋势:
(1) 通项无限趋近于一个确定的常数;
(2) 通项不趋近于任何确定的常数.
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收敛数列的有界性
如果数列xn 收敛,那么数列 xn 一定有界.
问题对于无限多项
xn (n 1, 2, ...)，
如何求 M ？
可取 M max{ x1 , x2 ,..., xN , a 1}.
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例4-1 证明当a 1时，lim n a 1.
n
证注意到 n a 1. n a 1 n a 1.
令n a 1 n 0, 于是
a = (1 n )n 1 nn nn
1 nn nn
0, 为了使
n
a
1
λn
a n
ε,
λn
a n
只要使
n
a, ε
因此,
1 2
1 22
1 2n ;
Xn
1
1 2n
1
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一、数列极限的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x2 , , xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8, ,2n , ;
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注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn 1
n (1)n1 1 n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
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N定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
取N
a
,
则当n
>
N
时,有
n a 1 n . 即 lim n a 1. n
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有 xn M 成立, 则称数列xn 有界,
否则, 称为无界.
例如,
数列
xn
n; n1
有界
数列 xn 2n.无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
{2n }
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
1 {2n }
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1,1,1, ,(1)n1 , ; {(1)n1 }
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3, , 3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
R
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2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
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给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100