静力学平衡方程的解题技巧

二 要 做 到 完 全 避 免 平 衡 方 程 之 间 的 联 立 ，重 点 是 选 择 平 衡 方 程 的 形 式 、矩 心 位 置 以 及 直 角 坐 标 系 的 建 立 。只 要 我 们 根 据 未 知 力 交 点 的 个 数 选 择 具 有 相 同 数 目 的 力 矩 平 衡 方 程 的 方 程 组 形 式 ，即 一 个 交 点 取 一 力 矩式，二个交点取二力矩式、三个交点取三力矩式。并 把 矩 心 位 置 选 在 更 多 未 知 力（ 两 个 ）的 交 点 上 ，这 样 ， 通 过 矩 心 的 力 对 矩 心 的 力 矩 为 零 ，使 力 矩 平 衡 方 程 中 也只有一个未知量。而要减少投影平衡方程中未知量 的 个 数 ，应 力 求 使 更 多 的 未 知 力 与 坐 标 轴 平 行 或 垂 直。在图１ 情形下，坐标轴的方向与两个垂直分力方向 一致，在图２ 情形下，选择的投影轴与两个平行的力垂 直 ，这 样 与 投 影 轴 垂 直 的 力 在 坐 标 轴 上 投 影 为 零 ，在 投影平衡方程中也只有一个未知量。如此就可以完全 避 免 平 衡 方 程 之 间 联 立 ，提 高 解 题 速 度 ，给 解 题 带 来 方便。 我 们 可 以 三 个 典 型 的 实 例 ，详 细 说 明 如 何 根 据 未 知 力 的 关 系 来 选 择 平 衡 方 程 组 的 形 式 、矩 心 、投 影 轴 ， 以避免平衡方程之间联立。 实例１ ． 图４ 所示一切槽刀，刀杆夹持在到架上，形
哈 尔 滨 职 业 技 术 学 院 学 报 ２ ０ １ ２ 年 第 ２ 期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｒｂｉｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ＆ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ·７３·
静力学平衡方程的解题技巧
江双全
（安徽工业职业技术学院， 安徽 铜陵 ２４４０００）
解：取研究对象：车刀。其约束可简化为图４ 所示 固定端约束。其受力图如图４ 所示。
列 平 衡 方 程 ，求 未 知 力 。 取坐标轴方向与约束反力Ｆ Ａ Ｘ 、Ｆ Ａ Ｙ 一致，未知力 只有一个交点Ａ ，取Ａ 为矩心。选取一矩式平衡方程形 式。
解得：
解：取研究对象：Ａ Ｂ 梁。其受力图如图６ 所示。 列 平 衡 方 程 ，求 未 知 力 。 由受力图可知，三个未知力Ｆ 、Ｆ Ａ Ｘ 、Ｆ Ａ Ｙ 有三个交 点Ａ 、Ｂ 、Ｃ ，要避免方程间联立，应取三矩式平衡方程 组形式，同时取交点Ａ 、Ｂ 、Ｃ 为矩心。
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显 然 ，每 个 方 程 都 只 有 一 个 未 知 量 ，只 要 解 一 元 一次方程就可求出未知量的大小。
实例２ ． 冲天炉的加料斗车如图５ 所示。斗车沿着与 水 平 成 α 角 的 轨 道 匀 速 上 升 ，已 知 斗 车 和 炉 料 共 重 为 Ｇ ，重心在Ｃ 点。并已知ａ 、ｂ 、ｅ 、ｈ 的大小。试求钢索拉力 Ｆ 和Ａ 、Ｂ 轮对轨道的压力。
如何迅速正确地解答静力学平面任意力系的平 衡 问 题 ，是 我 们 研 究 平 面 任 意 力 系 的 个 重 要 环 节 。达 成这一目的的关键是解题时要避免平衡方程之间的 联 立 。我 们 可 以 合 理 地 选 择 平 衡 方 程 的 形 式 、合 理 建 立直角坐标系和选择矩心的位置来避免平衡方程之 间的联立，即可以使平面任意力系平衡方程组中三个 方 程 各 自 独 立 — — 一 个 方 程 中 只 有 一 个 未 知 量 。这 样 不 仅 可 以 大 大 地 节 省 解 题 时 间 ，提 高 解 题 速 度 ，而 且 减少出错的机率。
［收稿日期］２０１１－１１－２５ ［作者简介］江双全（１９６８－），男，安徽工业职业技术学院讲师。
·７４· 哈 尔 滨 职 业 技 术 学 院 学 报 ２ ０ １ ２ 年 第 ２ 期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｒｂｉｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ＆ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ
一 要 做 到 完 全 避 免 平 衡 方 程 之 间 的 联 立 ，首先，要 弄清平面任意力系平衡方程的三种不同形式。 （ 一 ）平 衡 方 程 的 基 本 形 式（ 简 称 一 力 矩 式 ）
分力Ｆ ｘ 、Ｆ ｙ 和一个约束反力偶ｍ Ａ 组成，如图１ 所示；二 是 ，三 个 未 知 力 有 两 个 交 点 ，即 其 中 两 个 未 知 力 互 相 平行，而第三个未知力与之相交，如图２ 所示；三是，三 个 未 知 力 有 三 个 交 点 ，即 三 个 未 知 力 不 存 在 平 行 关 系，如图３ 所示。
成固定端约束。已知车刀伸出长度为Ｌ ，车刀所受切削 力为Ｆ ，与竖直方向夹角α，求固定端约束反力。
显 然 ，，每 个 方 程 也 只 有 一 个 未 知 量 ，只 要 解 一 元 一次方程就可以求出三个未知力的大小。
实例３ ． 起重机的水平梁Ａ Ｂ ，Ａ 端以铰链固定，Ｂ 端 用拉杆Ｂ Ｃ 拉住，如图６ 所示。已知梁重Ｇ １ ，载荷重Ｇ ２ ， 梁的相关尺寸如图示。试求拉杆的拉力及铰链Ａ 的约 束反力。
（ 二 ）二 力 矩 式 平 衡 方 程
其中矩心Ａ 、Ｂ 两点连线不能与于投影轴Ｘ 垂直。 （ 三 ）三 力 矩 式 平 衡 方 程
其中Ａ 、Ｂ 、Ｃ 三点不共线。 由 以 上 三 种 形 式 的 平 衡 方 程 组 可 知 ，它 们 分 别 含 有 一 个 、二 个 、三 个 力 矩 平 衡 方 程 。而 静 定 问 题 的 平 面 任 意 力 系 只 有 三 个 未 知 量 ，这 三 个 未 知 量 也 只 存 在 着 三种位置关系：一是，三个未知力只有一个交点，即固 定 端 约 束 的 情 况 。这 种 情 况 下 ，约 束 反 力 由 两 个 垂 直
摘 要：解答静力学平面任意力系的平衡问题，可以根据未知力交点的数目选择具有相同数目的力矩平衡方程的方程组 形式，同时取未知力的交点为矩心，并且使投影轴与较多的未知力垂直，就可以完全避免平衡方程之间的联立，从而提高解题速 度，减少出错率。
关键词：平衡方程；坐标系；矩心；解题技巧
中图分类号：Ｇ６２３．５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８ — ８９７０ —（２０１２）０２ — ００７３ — ０２