第四节函数调性与曲线的凹凸性

第四节 函数单调性与曲线的凹凸性

我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法.

分布图示

★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3

★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 曲线凹凸的定义 ★ 例9

★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法

★ 例11

★ 例12

★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4

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内容要点

一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导.

(1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少.

二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则

(1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''；

(2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；

(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.

例题选讲

函数单调性的判断

例1 (E01) 讨论函数1--=x e y x 的单调性.

解 Θ.1-='x e y 又).,(:+∞-∞D 在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少； 在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加.

注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.

例2 (E02) 讨论函数32x y =的单调区间.

解 Θ).,(:+∞-∞D 3

32

x

y =

'),0(≠x 当0=x 时，导数不存在.

当0<<-∞x 时，,0<'y ∴在]0,(-∞上单调减少；

当+∞<'y ∴在[)+∞,0上单调增加； 单调区间为]0,(-∞，),0[+∞.

注意: 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，,3x y =,00='=x y 但是),(+∞-∞上单调增加.

注：从上述两例可见，对函数)(x f y =单调性的讨论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导数)(x f '在各子区间的符号，从而确定出函数)(x f y =在各子区间上的单调性，每个使得)(x f '的符号保持不变的子区间都是函数)(x f y =的单调区间.

求单调区间

例3 (E03) 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 解 Θ).,(:+∞-∞D

x x x x f 12186)(2+-='),2)(1(6--=x x

解方程0)(='x f 得.2,121==x x

当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加； 当21<'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加； 单调区间为],1,(-∞],2,1[).,2[+∞

例4 求函数32))(2(x a a x y --=')0(>a 的单调区间. 解 y ',)

()2(323232x a a x x a ---⋅=

令 ,0='y 解得,321a x =

在 ,2

2a

x =a x =3处y '不存在. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2,a 内，,0>'y 函数单调增加. 在⎪⎭

⎫

⎝⎛a a 32,2内，,0>'y 函数单调增加.

在⎪⎭⎫

⎝⎛a a ,32内，,0<'y 函数单调减少. 在()+∞,a 内，,0>'y 函数单调增加.

例5 当0>x 时， 试证)1ln(x x +>成立.

证 设),1ln()(x x x f +-=则.1)(x

x x f +=

' Θ)(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， Θ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>证毕.

应用单调性证明

例6 (E04) 试证明：当0>x 时, 22

1)1ln(x x x ->+. 证 作辅助函数 ,2

1)1ln()(2x x x x f +

-+= 因为)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且x x

x f +-+='111

)(,12x x +=

当0>x 时，,0)(>'x f 又.0)0(=f 故当0>x 时，,0)0()(=>f x f

所以.2

1)1ln(2x x x -

>+

例7 (E05) 证明方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.

证 令,1)(5++=x x x f 因)(x f 在闭区间]0,1[-延续，且)1(-f 1-=,0<)0(f 1=.0> 根据零点定理)(x f 在)0,1(-内有一个零点.另一方面，对于任意实数,x 有)(x f '154+=x ,0> 所以)(x f 在),(+∞-∞内单调增加，因此曲线)(x f y =与x 轴至多只有一个交点.

综上所述可知，方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.

例 8 证明方程1ln -=e

x

x 在区间),0(+∞内有两个实根. 证 令,1ln )(+-=e

x

x x f 欲证题设结论等价于证)(x f 在),0(+∞内有两个零点. 令01

1)(=-=

'e

x x f ⇒.e x = 因,1)(=e f ,)(lim 0-∞=+→x f x 故)(x f 在),0(e 内有一零点.

又因在),0(e 内,0)(>'x f 故)(x f 在),0(e 内单调增加，这零点唯一.

因此, )(x f 在),0(+∞内有且仅有两个零点, 证毕.

例9 (E06) 判定 )1ln(x x y +-=的凹凸性. 解 因为

,11

1x y +-

=' 2

)1(1x y +=

'' 所以，题设函数在其定义域),1(+∞-内是凹的.

例10 (E07) 判断曲线3

x y =的凹凸性.

解 Θ,32x y =',6x y =''当0

当0>x 时，,0>''y ∴曲线在),0[+∞为凹的；注意到点)0,0(是曲线由凸变凹的分界点.

例11 (E08) 求曲线14334+-=x x y 的拐点及凹、凸区间. 解 易见函数的定义域为),,(+∞-∞