中科大单变量微积分期末复习

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

4
单变量微积分期末复习 不定积分与定积分的定义
Definition 设������ (������)是 函 数������ (������)在 区 间������ 上 的 一 个 原 函 数 , 函 数������ (������) 在 区 间������ 上的原函数的全体称{������ (������) + ������ }为������ (������)在������ 上的不定积分。 不定积分定义说明
单变量微积分期末复习 积分的计算
定积分的计算
1
Leabharlann Baidu
牛顿-莱布尼兹公式 设������ (������)在区间[������, ������]上黎曼可积,������ (������)是������ (������)在[������, ������]上的一个 原函数, ⃒������ ∫︀ ������ ⃒ ������ ( ������ )d ������ = ������ ( ������ ) ⃒ = ������ (������) − ������ (������). ������
������→+∞
单变量微积分期末复习 积分的计算
不定积分计算
换元法 第一换元法 ∫︀ ′ ������ ∫︀(������(������))������ (������)d������ = ∫︀ ������ (������(������))d������(������) = ������ (������)d������ = ������ (������) + ������ = ������ (������(������)) + ������. 第二换元法 ∫︀ ������ ∫︀(������)d������ = ∫︀ ������ (������(������))d������(������) = ������ (������(������))������′ (������)d������ = ������ (������) + ������ = ������ (������−1 (������)) + ������.
单变量微积分期末复习 积分的计算
有理函数的积分 1.部分分式分解。 ������ , ������ + ������ ������ , (������ + ������)������ ������2 ������������ + ������ , + ������������ + ������ (������2 ������������ + ������ + ������������ + ������)������
单变量微积分期末复习 积分的计算
含简单根式的有理式的积分 )︃ (︃ √︂ ∫︁ ������������ + ������ d������, (������������ − ������������ ̸= 0). 第一类: ������ ������, ������ ������������ + ������ ∫︁ )︁ (︁ √︀ 第二类: ������ ������, ������������2 + ������������ + ������ d������, (������ ̸= 0, ������2 − 4������������ ̸= 0).
������
单变量微积分期末复习 不定积分与定积分的定义
2. 下列命题正确的是(
)
A 若������ 2 在[������, ������]可积, 则������ 在[������, ������]可积. B [������, ������]上的单调有界函数必可积. C 若函数������ (������)在有界闭区间[������, ������]上存在原函数,则������ 在[������, ������]可积. D 若������ (������)在[������, ������]可积,则������ 在[������, ������]必存在原函数. 3.下列等式正确的是( ) ∫︁ ������ d A ������ (������)d������ = ������ (������) . d������ ∫︁������ ������ d C ������ (������)d������ = ������ (������) − ������ (������). d������ ������
d B d ∫︁ ������ D
∫︁ ������ (������)d������ = ������ (������) .
������ ′ (������)d������ = ������ (������).
单变量微积分期末复习 不定积分与定积分的定义
1������ + 2������ + · · · + ������������ , ������是正常数. ������→+∞ ������������+1 1 √︀ ������ ������(������ + 1) · · · (2������ − 1). 2. lim ������→+∞ ������ 1. lim 3.
2
3
单变量微积分期末复习 不定积分与定积分的定义
定积分定义说明
1
定 积 分 的定 义 是 构 造 性 的 , 分 为 四 个 步 骤 : 分 割–近 似–求 和–取极限。 求和的结果称为黎曼和,黎曼和与分割方式及取点方式有 关,但极限值只与被积函数和积分区间有关,与分割,取点 方法无关。 如果对于特殊分割方式和取点方法,黎曼和极限存在,不能 说明定积分存在。但如果定积分存在可以利用特殊方法来计 算积分得值。
1
������ (������) 的不定积分是一个函数族{������ (������) + ������ } ,而不是一个函 数,其中������ 是任意常数,写结果时必须写上. 因为同一个函数的原函数之间相差一个常数,所以一个函数 的不定积分用不同方法计算的结果可能不同,它们只差一个 常数. ������ (������) 的不定积分在几何上表示������ (������) 的某一条积分曲线沿������ 轴 方向任意平移所得曲线组成的曲线族.
分部积分法 ∫︀ ∫︀ ′ (������)d������ = ������(������)������ (������) − ������′ (������)������ (������)d������ 或 ������ ( ������ ) ������ ∫︀ ∫︀ ������(������)d������ (������) = ������(������)������ (������) − ������ (������)d������(������)
单变量微积分期末复习
单变量微积分期末复习
中国科学技术大学 数学科学学院
December 25, 2016
单变量微积分期末复习 不定积分与定积分的定义
原函数定义说明
1 2
若函数������ (������) 存在原函数,则其原函数不是唯一的。 若������ (������) 在区间������ 上连续,则������ (������) 在������ 上存在原函数. ♢连续是存在原函数的充分条件,并非必要条件。 ♢初等函数在其定义域内必存在原函数(但其原函数不一定 仍是初等函数)
小结 ∫︁ 由基本积分公式 ������ (������)d������ → ������ (������) + ������ ∫︁ ∫︁ 通过恒等变换( 三角、代数) ������ (������)d������ → ������ (������)d������ ∫︀ 第一换元法: ������ = ������(������) → ∫︀ ������ (������(������))d������∫︀ (������) = ������ (������) + ������ 第二换元法: ������ ∫︀ = ������(������) → ∫︀ ������ (������)d������ = ������ (������)d������ = ������(������) ∫︀ + ������. 分部积分法: ������ (������)d������ = ������(������)d������ (������) = ������(������)������ (������) − ������ (������)d������(������).
2
3
可积函数类 区间[������, ������]上的连续函数; 区间[������, ������]上只有有限个间断点的有界函数; 区间[������, ������]上的单调函数.
单变量微积分期末复习 不定积分与定积分的定义
1.下列命题正确的是(
)
A 若函数黎曼可积, 则其必有原函数. B 即使有限闭区间上的函数������ (������)为某一函数的导数, 但������ (������)不一定黎曼可积. C 若函数������ (������)在有界闭区间[������, ������]上黎曼可积,则存在������ ∈ (������, ������), ∫︁ ������ 使得 ������ (������)d������ = ������ (������ )(������ − ������). D 若函数������ (������)在有界闭区间[������, ������]上有定义,且只有 有限个间断点,则������ (������)在[������, ������]上黎曼可积.
������
2
换元积分法 函数������ (������) 在[������, ������] 上连续,������ = ������(������) 在[������, ������ ]上有连续导数, ������(������) = ������, ������(������ ) = ������,则有定积分的换元积分公式: ∫︀ ������ ∫︀ ������ ′ ������ ( ������ )d ������ = ������ ������ ������ (������(������))������ (������)d������. 分部积分法 ������(������), ������ (������)在[������, ������]上 有 连 续 的导 数 , 则 有 定 积 分 的 分 部 积 分 公式: ⃒������ ∫︀ ∫︀ ������ ∫︀ ′ (������)d������ = ������ ������(������)d(������ (������)) = ������(������)������ (������)⃒ − ������ ������ (������)������′ (������) ������ ( ������ ) ������ ⃒ ������ ������ ������
3
如果������ (������)是������ (������) 在区间������ 的一个原函数,则������ (������)是������ (������)的导 函数,由导函数的性质可知,������ (������)在区间内没有第一类间断 点. 如果������ (������)是������ (������) 在区间������ 的一个原函数, 则������ (������)在������ 上可导, 从而������ (������)在区间������ 连续
2.简单分式的积分。 三角函数有理式的积分 ������ 令������ = tan ,则 2 1 − ������2 2 , d������ = d������ 2 1 + ������ 1 + ������2 (︂ )︂ ∫︁ ∫︁ 1 − ������2 2������ 2 ������(cos ������, sin ������)d������ = ������ , · d������. 2 2 1 + ������ 1 + ������ 1 + ������2 sin ������ = 2������ , 1 + ������2 cos ������ =
������→+∞ ������=1
lim
������ ∑︀
������2
������ . + ������ 2
(︁ ln(1 + 1 ) ln(1 + 2 ) )︁ ln(1 + ������ ������ ������ ������ ) + + ··· + . ������→+∞ ������ + 1 ������ + 2 ������ + ������ (︀ )︀ 1 3 5. 已知������ (������) = ������������ , 求 lim ������ (1)������ (2) · · · ������ (������) ������4 4. lim
相关文档
最新文档