几种常用的连续型分布

定理： 若 X ~ N
, , 则 Z
2
X

~ N 0 , 1 .
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.
X ~ N , 2 X x FX x P X x P x
一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
几个常用的连续型随机变量
均匀分布
正态 分布
指数分布 无记忆性
P{c<X<d}
单调减少,在 x μ 取得最大值；
2

5 6
x = μ σ为 f (x) 的两个拐点的横坐标；
f (x) 以 x 轴为渐近线
正态分布
N ( , 2 ) 的图形特点
峰的陡峭程度.
决定了图形的中心位置， 决定了图形中
4.标准正态分布(p41) 参数＝0，2＝1的正态分布称为 标准正态分布，记作X~N(0, 1)。
1 d c P{c X d }＝ f ( x)dx＝ dx＝ c c ba ba
d d
例1.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车 ,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到 达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率. 15 45
解：设A—乘客候车时间超过10分钟
两个参数的意义
EX1 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态
分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个 元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时 内无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则YB(3,p)
其中
90 100 p P{ X 90} ( ) ( 0.67) 0.2514 15
3. 正态分布 (p41)
正态分布也称为高斯(Gauss)分布是实践中应用最 为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在 概率统计中占有特别重要的地位。
百度文库
B
A A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密 度应该是什么形态？
若随机变量

1 e 2
x 2
2 2
X ~ f ( x)
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
例 3 设 X～N（3,2 ）
2
（1）求 P {2<X≤5}，P {－4<X≤10}，P{|X|>2}， （2）决定 C 使得 P {X > C }=P {X≤C}
设随机变量X~N(-1,22),
P{-2.46<X<2.46}=?
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头 碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高X～ N(170,62),问车门高度应如何确定?
其密度函数表示为
( x)
1 e 2
x2 2
, x .
分布函数表示为
( x ) P { X x }
1 2

x

e
t2 2
dt, x
( x)
( x )
1
1 0 ; 2
2 x R , x 1 x ;
X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P( A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60}
5 20 5 1 60 2
f (x)
2. 指数分布(P40)
e x , x 0 若 X～ f ( x )＝ 0, x 0
x
其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态
分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
f x 具有下述性质 :
1 f x 0 ;
f x dx 1 ; 3 曲线 f x 关于 轴对称；
4 函数 f x 在 ( , μ] 上单调增加,在 [ μ, ) 上
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
故
作业2-4： 1，5，6
x
0
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
1 e x , x 0 F ( x)＝ 0, x 0
例2 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数 分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用
两年的概率为多少？
随机变量的分布函数
单调不减性 右连续性
归一性
非负性
F(x)…f(x) P{a<X<b}
连续型随机变量 的概率密度
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p39)
1 ,a x b 若X～f(x)＝ b a 0，其它
0
f (x)
。 。
b
a
x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
根据定理,只要将标准正态分布的分布函数制 成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
一般的概率统计教科书均附有标准正态分 布表供读者查阅(x)的值。
(P289附表2)
3

准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间