向量组及其线性组合.ppt

设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即
b1 k11a1 k21a2 b2 k12a1 k22a2
km1am km2am
bl k1la1 k2la2 kmlam
线性表示的 系数矩阵
k11 k12
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
b11 b12
b1n
则
c1,c2,
, cn a1, a2 ,
, al
b21
b22
b2n
bl1 bl 2
bln
结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵．
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
源自文库
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1
2
x1 x2 x3
5 1
3 4 1 5
x1
1
x2
1
x3
2
1
方程组有解？
向量
51是 否能用
a11
A34
a21
a12 a22
a13 a23
a14
a24
a1,a2 ,a3 ,a4
b
T 1
b
T 2
a31 a32 a33 a34
b
T 3
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成 的向量组含有无穷多个同维数的向量．
n 维向量的运算律
1. a b b a 2. a b a (b ) 3. a 0 a 4. a (a ) 0 5. 1a a 6. k(la ) (kl)a 7. k(a b ) ka kb
定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组．
有限向量组
列向量．
✓ 列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示．
二、特殊的矩阵
• 只有一行的矩阵 A (a1, a2 , , an )称为行矩阵(或行向量) .
a1
只有一列的矩阵
B
a2
称为列矩阵(或列向量)
.
an
n 维向量的运算
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
b1,b2,
, bl a1, a2 ,
, am
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
kml ml
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式
k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数．
定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．线性方程组 Ax = b 有解
1 0 0
例：设
E
e1 , e2 , e3
0
1
0
0 0 1
e1, e2, e3的 线性组合
1、向量相等（维数相同且对应元素相等）
a T b T ,当且仅当ai bi (i 1,2, n)
2、向量相加（维数相同，对应元素相加）
a T b T (a1 b1,a2 b2 ,an bn )
3、向量的数乘（数乘以向量的每一个分量）
ka T (ka1, ka2 , kan )
向量加法和数乘运算统称为向量的线性运算
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
3
1
7
0
2e1 3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
结论： 向量b 能由 向量组 A 线性表示
a11 a12
a21
a22
an1 an2
线性方程组 Ax = b 有解
a1m l1
a2m
l2
b
anm
lm
R( A) R( A,b)
定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价．
3 1
,
4线1性,表21示 ？
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1a1 x2a2
xmam a1, a2 ,
x1 a11 a12
, am
x2
a21
a22
xm an1 an2
a1m x1
a2m
x2
anm xm
b l1a1 l2a2 lmam
第四章 向量组的线性相关性
§1 向量组及其线性组合
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向 量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． 备注： ✓ 一般只讨论实向量（特别说明的除外） ． ✓ 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量． ✓ 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作