场论与张量运算简介
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无源场（管式场）——散度为零 无旋场（势场）—— 旋度为零
18
场论——标量、矢量和张量表示
s =标量（不加黑的斜体字母） v =矢量（加黑的斜体字母） τ =张量（加黑的希腊字母）
19
矢量的定义
矢量定义：具有一定的量值和方向的量
v v
矢量相等：量值相等、方向相同（可以是 非共线、非同一作用原点)
xz
yz
zz
τxy:剪应力的 y 分量作用于 x 面上的力
16
场论
定义： 设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量 函数，则称定义在此空间内的函数为场
B
A
A
17
场论——场的分类
标量场（温度场、密度场） 矢量场（力场、电磁场、速度场）
均匀场 不均匀场
定态场（不随时间改变） 非定态场
d2 f dx 2
1 (x 3!
x0
)3
d3 f dx3
...
三维：
1
f
f
f
f
(x, y, z)
f
(
x0
,
y0
,
z0
)
1!
(
x
x0
)
x
(y
y0 ) y
(z z0)
z
( x0
,
y0
,z0
)
j2
1j!( x
x0 )
x
张量的物理概念（Tensor) 1. 是矢量 2. 是面力，与作用面有关
标量、矢量、n 阶张量的关系
14
一点的应力状态——应力张量
压力张量
1. 面力 2. 各向同性
p 0 0 0 p 0 pE 0 0 p
p 0 0 nx pnx pn 0 p 0 ny pny pn
20
矢量加减法
矢量加减法
交换率 v + w = w + v 结合率 ( v + w )+u = v + ( w +u )
21
矢量乘法——矢量和标量
矢量和标量的乘法 交换率（OK）： sv = vs 结合率（OK）： r (s v ) = ( r s ) v 分配率（OK）： ( q + r + s ) v = q v + r v + s v
t
t 2
4
流体力学基本概念
欧拉方法
着眼点：寻求空间中每个点上描述 流体运动随时间的变化状态
v v(r,t)
M
M’
5
流体力学基本概念
泰勒展开(Taylor Series)
一维：
f (x)
1
df
f (x0 ) 1!(x x0 ) dx
x x0
1 (x 2!
x0 )2
vy
v z
vz t
v t
(v )v
7
流体力学基本概念
流体速度分解定律——速度类型
1. 平移速度 2. 旋转速度 3. 变形速度
例子： A. 速度均匀的平移流动 B. 平行剪流 C. 简单的环形流动 D. 流线是圆形的无旋流动
8
流体力学基本概念
流体速度分解定律——刚体运动
(y
y0 )
y
(z
z0 )
z
j
f
(x0 ,
y0 ,
z0 )
6
流体力学基本概念
欧拉方法表达加速度
lim dv
v(M ,t t) v(M ,t)
dt t0
t
lim lim dv
v(M ,t t) v(M ,t)
v(M ,t) v(M ,t)
dt t0
t
t 0
t
v 泰勒展开： v(M , t) v(M x vxt, M y vyt, M z vzt, t)
v(M来自百度文库
x
,
M
y
,
M
z
,
t)
v x
vx t
v y
vy
t
v z
vz t
a
v
dv dt
v t
v x
vx
v y
23
矢量乘法——叉乘
两个矢量矢量积（叉乘、叉积）
[v w] {vwsin vw}nvw
22
矢量乘法——点乘
两个矢量标量积（点乘、点积）
(v w) vwcosvw
交换率（OK）： u ● v = v ● u 结合率（NA）： ( u ● v ) w ≠ u ( w ● v ) 分配率（OK）： u ● {v + w} = u ● v + u ● w
v ● v = ? 几何意义？
v v0 ω r
rotv 2ω
v
v0
1 2
rotv
r
v0 : 平移速度 rotv : 旋度
ω：角速度
9
流体力学基本概念
流体速度分解定律——旋度
旋度物理意义：刚体旋转时的2倍旋转角速度
旋度几何意义：设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点 处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋 涡, 这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度称为旋度。
——传递过程原理
第3章 场论与张量运算简介
何险峰
2007年9月
本章内容
1. 流体力学基本概念 2. 一点的应力状态——应力张量 3. 场论 4. 二阶张量运算 5. 流体力学本构方程 6. 小结
2
流体力学基本概念
连续介质假设和微团
真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无 空隙地充满着的。
1. 空间尺度（microscope, mesoscope, macroscope)
2. 时间尺度（飞秒、皮秒 、纳秒、微秒、毫秒、秒）
3
流体力学基本概念
拉格朗日方法
着眼点：寻求质点位置变化规律
r r(x, y, z,t)
v r(x, y, z,t) t
a v v 2r(x, y, z,t)
0 0 p nz pnz
15
一点的应力状态——应力张量
剪应力张量
xx xy xz xx xy xz
τ yx yy yz xy yy yz
zx
zy
zz
10
流体力学基本概念
流体速度分解定律
v
v0
1 2
rotv
r
S
r
S：变形速度张量
11
流体力学基本概念
涡量
Ω
Ω =rot v
M L
v
12
流体力学基本概念
体力 —— 单位体积流体上受到的力 ρg
面力 —— 流体单位面积上受到的力
与面有关，张量描述
13
一点的应力状态——应力张量
18
场论——标量、矢量和张量表示
s =标量（不加黑的斜体字母） v =矢量（加黑的斜体字母） τ =张量（加黑的希腊字母）
19
矢量的定义
矢量定义：具有一定的量值和方向的量
v v
矢量相等：量值相等、方向相同（可以是 非共线、非同一作用原点)
xz
yz
zz
τxy:剪应力的 y 分量作用于 x 面上的力
16
场论
定义： 设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量 函数，则称定义在此空间内的函数为场
B
A
A
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场论——场的分类
标量场（温度场、密度场） 矢量场（力场、电磁场、速度场）
均匀场 不均匀场
定态场（不随时间改变） 非定态场
d2 f dx 2
1 (x 3!
x0
)3
d3 f dx3
...
三维：
1
f
f
f
f
(x, y, z)
f
(
x0
,
y0
,
z0
)
1!
(
x
x0
)
x
(y
y0 ) y
(z z0)
z
( x0
,
y0
,z0
)
j2
1j!( x
x0 )
x
张量的物理概念（Tensor) 1. 是矢量 2. 是面力，与作用面有关
标量、矢量、n 阶张量的关系
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一点的应力状态——应力张量
压力张量
1. 面力 2. 各向同性
p 0 0 0 p 0 pE 0 0 p
p 0 0 nx pnx pn 0 p 0 ny pny pn
20
矢量加减法
矢量加减法
交换率 v + w = w + v 结合率 ( v + w )+u = v + ( w +u )
21
矢量乘法——矢量和标量
矢量和标量的乘法 交换率（OK）： sv = vs 结合率（OK）： r (s v ) = ( r s ) v 分配率（OK）： ( q + r + s ) v = q v + r v + s v
t
t 2
4
流体力学基本概念
欧拉方法
着眼点：寻求空间中每个点上描述 流体运动随时间的变化状态
v v(r,t)
M
M’
5
流体力学基本概念
泰勒展开(Taylor Series)
一维：
f (x)
1
df
f (x0 ) 1!(x x0 ) dx
x x0
1 (x 2!
x0 )2
vy
v z
vz t
v t
(v )v
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流体力学基本概念
流体速度分解定律——速度类型
1. 平移速度 2. 旋转速度 3. 变形速度
例子： A. 速度均匀的平移流动 B. 平行剪流 C. 简单的环形流动 D. 流线是圆形的无旋流动
8
流体力学基本概念
流体速度分解定律——刚体运动
(y
y0 )
y
(z
z0 )
z
j
f
(x0 ,
y0 ,
z0 )
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流体力学基本概念
欧拉方法表达加速度
lim dv
v(M ,t t) v(M ,t)
dt t0
t
lim lim dv
v(M ,t t) v(M ,t)
v(M ,t) v(M ,t)
dt t0
t
t 0
t
v 泰勒展开： v(M , t) v(M x vxt, M y vyt, M z vzt, t)
v(M来自百度文库
x
,
M
y
,
M
z
,
t)
v x
vx t
v y
vy
t
v z
vz t
a
v
dv dt
v t
v x
vx
v y
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矢量乘法——叉乘
两个矢量矢量积（叉乘、叉积）
[v w] {vwsin vw}nvw
22
矢量乘法——点乘
两个矢量标量积（点乘、点积）
(v w) vwcosvw
交换率（OK）： u ● v = v ● u 结合率（NA）： ( u ● v ) w ≠ u ( w ● v ) 分配率（OK）： u ● {v + w} = u ● v + u ● w
v ● v = ? 几何意义？
v v0 ω r
rotv 2ω
v
v0
1 2
rotv
r
v0 : 平移速度 rotv : 旋度
ω：角速度
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流体力学基本概念
流体速度分解定律——旋度
旋度物理意义：刚体旋转时的2倍旋转角速度
旋度几何意义：设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点 处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋 涡, 这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度称为旋度。
——传递过程原理
第3章 场论与张量运算简介
何险峰
2007年9月
本章内容
1. 流体力学基本概念 2. 一点的应力状态——应力张量 3. 场论 4. 二阶张量运算 5. 流体力学本构方程 6. 小结
2
流体力学基本概念
连续介质假设和微团
真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无 空隙地充满着的。
1. 空间尺度（microscope, mesoscope, macroscope)
2. 时间尺度（飞秒、皮秒 、纳秒、微秒、毫秒、秒）
3
流体力学基本概念
拉格朗日方法
着眼点：寻求质点位置变化规律
r r(x, y, z,t)
v r(x, y, z,t) t
a v v 2r(x, y, z,t)
0 0 p nz pnz
15
一点的应力状态——应力张量
剪应力张量
xx xy xz xx xy xz
τ yx yy yz xy yy yz
zx
zy
zz
10
流体力学基本概念
流体速度分解定律
v
v0
1 2
rotv
r
S
r
S：变形速度张量
11
流体力学基本概念
涡量
Ω
Ω =rot v
M L
v
12
流体力学基本概念
体力 —— 单位体积流体上受到的力 ρg
面力 —— 流体单位面积上受到的力
与面有关，张量描述
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一点的应力状态——应力张量