怎样上出一堂好课——“方程的根与函数的零点”教学反思

怎样上出一堂好课

——“方程的根与函数的零点”教学反思

宋艳秋（山西省实验中学）

【《中国数学教育》杂志】山西省教育科学“十一五”规划课题“基于问题设计的中学数学课堂教学策略研究”的中期汇报课题研讨会上，本人承担了汇报展示课“方程的根与函数的零点”的课堂实践任务。课后，与会专家进行了点评，并给予了许多宝贵意见。此次研讨后，在原有的教学设计基础上，结合课堂实践情况，以及专家的研讨意见，本人对教学设计和实施的引入、探究、辨析等各个环节进行了深刻反思，并逐步感悟到一堂好课的标准。

一、引入环节

教学片断一：

今天我们来学习第三章函数的应用的第一单元“函数与方程”。函数的应用是广泛的，函数思想在方程领域内的应用为求方程的根提供了一条简捷的途径。虽然今天我们可以从教科书中了解到各式各样的方程的解法，但这一切却在数学史上经历了很长时间。下面我们来了解一下中外历史上的方程求解。

约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。可见，我国古代数学家已经比较系统地解决了部分方程求解的问题。

国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法；数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但最后被19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。既然五次及五次以上的高次方程以及指数方程、对数方程等超越方程没有求根公式，那怎样才能求出方程的根呢？

通过刚才了解到的方程求解的数学史，可以感觉到如果仍然从方程角度入手研究方程求解问题，已经很困难了，或者说研究不下去了，那么这个时候该怎么办呢？我这里就有一个问题，你们看能解决吗？

（课件投影。）

问题1：方程2x+x=0有无根？若有，能否说出其中的一个根大概在哪两个整数之间？

生1：有一个根。根在-1和0之间。把x移到等号另一端，观察函数y=2x和函数y=-x 的图象，发现两个函数只有一个交点，因此方程有一个根。观察图象，用-1和0代换x求出两个函数值后，发现根在-1和0之间。

生2：令y=2x+x，由于在定义域内这是个增函数，且用-1和0代换x后发现函数值一负一正，所以在-1和0之间一定有一个使y=0的值，因此方程有一个根。

师：都回答得很好。生1把求方程根的问题转化为两个函数的交点问题，生2把方程直接转换成一个函数进行求解，他们都用函数的思想解决了方程的问题。看来函数及其图象是个好帮手，就让我们系统地研究一下，方程与函数到底有怎样的联系。

【反思】本环节问题情境创设得较好。对于数学概念课，教科书中常常只有核心概念和例题，一般都略去了知识的产生和形成过程。如果教师在教学中照本宣科，让学生生硬记住概念后做题，这必然使很多学生觉得数学知识十分枯燥，既没意思又没用，从而大大降低学生学习数学的热情和积极性。本人在处理教材时，为突出学习的必要性，在教学设计的引入中常结合知识产生的背景，创设一个保留历史特征和痕迹的问题情境，通过激其情、奋其志、启其疑、引其思，呈现出学生已有的知识经验与所面临情境之间的冲突或矛盾，进而引起学生的注意、关心和探索行为，极大地调动学生学习的积极性和目的性，使学生在自然而然的情况下亲历知识的产生和形成过程，自己获得知识。

引入环节采取这样的教学设计，目的是让学生明白“为什么要学”，只有学生明白了“为什么要学”，才能激发出他们的求知欲，进一步设计“怎样学”和“学什么”才更有效。

为使学生弄清楚“为什么要学”，本节课的引入设计了两个内容：一是介绍了古今中外方程求解的数学史，使学生先了解五次及五次以上方程没有求根公式；二是设计了问题1。关于问题1，原来的设计是：方程2008x2-2009x+0.5=0有无根？若有，能否说出其中一个根大

概在哪两个整数之间？试讲时发现大部分学生都是用判别式来判断，由于数值较大不好算，学生就用计算器算。接下来根据教材的内容安排启发学生：还能换个角度用别的思想方法解决吗？学生也都积极思考，然后有学生发言用函数思想判断出方程是否有根……我感觉引入环节设计得当，启发到位，学生学习得自然。没想到下课后与学生交流，发现根本不像自己预想的那样，虽然学生学习了函数的零点的概念，也清楚方程根的问题可以由函数的零点来解决，但就是不明白为什么要用函数零点解决。反思后发现：这是因为学生原有的知识结构先入为主地决定了他的解题方法。为此，在教学引入环节中重新设计了问题1。这是一个不能直接求解（即无求根公式）的超越方程。实践表明，这次真正使学生自然而然地过渡到用函数思想解决问题，也让学生感受到“利用函数思想来解决方程问题”非常必要，进一步引发学生深入思考方程与函数到底有怎样的联系，从而使学生顺利进入本节课的问题情境中，也使他们的大脑真正“动”起来。

因此我觉得在某些数学核心概念课的教学中，在引入环节中创设有价值、有效的问题情境对一堂好课来说是非常必要的。

二、探究环节

教学片断二：

（课件投影。）

问题2：完成下表并思考二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象与 x 轴的交点个数、交点坐

生3：二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象与x 轴交点的横坐标就是相应的二次方程的根。

生4；我还发现，方程有根也就是函数图象与x 轴有交点。

师：好，我们有两个重大发现。

（教师演示课件显示结论。）

二次方程与相应函数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象与x 轴交点的横坐标就是相应的二次方程的根；方程有根⇔函数图象与x 轴有交点。

师：通过对二次函数的研究，我们发现了二次函数与方程的根的关系。对于其他类型的函数，是否也有此结论呢？

（课件投影。）

问题3：上述结论是否对一般方程与相应函数也成立？你能举例说明吗？

生5：如函数y =ax+b(a≠0)的图象与x 轴交点的坐标是,0b a ⎛⎫-

⎪⎝⎭，相应方程ax+b=0(a≠0)的根为x =b a

-；函数y=log 2x 的图象与x 轴交点的坐标是（1，0），相应方程log 2x=0的根为x =1；函数y=2x 的图象与x 轴没有交点，相应方程2x =0无根；函数y=1x

的图象与x 轴没有交点，相应方程1x

=0无根。前两个方程有根，且根就是相应函数图象与x 轴交点的横坐标；后两个方程无根。这也说明方程有根等价于函数图象与x 轴有交点。

【反思】基于学生情况，本环节在教学实施过程中临时改变了教学设计，变通得较好。对于问题3，原来的教学设计是提出问题3后，并不给学生思考的空间，不用他们举例，而是用几何画板展示出事先选好的例子：“观察函数图象与相应方程的根的关系：f(x)= x -4与

x -4 =0；f(x)=(x 2-1)(x+2)(2x-6)与(x 2-1)(x+2)(2x-6)=0；f(x)=2x -8与2x -8 =0；f(x)=ln(x-2)与

ln(x-2)=0。”接下来，先让学生求出方程的根，再用几何画板作出函数图象演示，然后让学生观察其关系。这样设计的理由是：（1）所举函数，类型比较全面：有高次的，有含指数、对数式的；（2）可以通过几何画板画出像f(x)=(x 2-1)(x+2)(2x-6)这样平时画不出的函数图象让学生对照，也可以展示我的多媒体教学技能。在试讲时，提出问题3后也曾给学生一点时