传热学-2 导热基本定律和稳态导热

温度分布。
0 时 tw fw x, y, z,
若边界温度均匀，则 0 tw fw
最简单的情况下，tw const
2-2 导热微分方程和定解条件
（2）第二类边界条件：给定物体边界上任何时刻 的热流密度分布 qw。
0 时
qw
(
t n
)w
fw (x,
y, z, )
若边界热流密度分布均匀，则 0时
2-2 导热微分方程和定解条件
二 定解条件 使导热微分方程获得适合某一特定导热问题
的求解的附加条件。
定解 条件
初始条件：初始时间的温度分布；
边界条件：导热物体边界上温度 或表面换热情况。
说明：
①非稳态导热定解条件有两个；
②稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。
2-2 导热微分方程和定解条件
边界条件可归纳为三类： （1）第一类边界条件：给定物体边界上任何时刻的
温度场是时间和空间的函数，即
t f (x, y, z, )
三维非稳态温度场： t f (x, y, z, )
三维稳态温度场： 二维稳态温度场： 一维稳态温度场：
t f (x, y, z) t f (x, y) t f (x)
2-1 导热基本定律和热导率
等温线（面）：在同一时刻，温度场中温度相同 的点所连成的线或面。 习惯上物体的温度场用等温面图或等温线图来表示。
等温线（面）
注意：在同一时刻，物体中温度不同的等温面或等 温线不能相交，因为任何一点在同一时刻不可能具 有两个或两个以上的温度值。且沿等温面法线方向 的温度变化最剧烈，即温度变化率最大。
2-1 导热基本定律和热导率
温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限，记为gradt。
grad t t nvlim t nv t
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
热流线：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通 过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。
2-1 导热基本定律和热导率
绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。
2-1 导热基本定律和热导率
影响导热系数的因素：物质的种类、温度（P21）、 材料成分、湿度、压力、密度等。
A 气体的导热系数 气体 0.006~0.6 W (m K)
特点：(a) λ气体基本不随压力的改变而变化 (b) 随温度的升高而增大 (c) 随分子质量减小而增大
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
t2 t1
㏑r2 / r1
㏑r
/
r1
温度呈对数曲线分布
将系数带入第二次积分结果
2-3 一维稳态导热
圆筒壁内温度分布：
t
tw1
(tw1
tw2 )
ln(r ln(r2
/ r1) / r1)
dt tw1 tw2 1
dr ln(r2 / r1) r
q dt tw1 tw2
dr r ln(r2 / r1)
2-1 导热基本定律和热导率
B 液体的导热系数 液体 0.07~0.7 W (m K)
特点：(a) 随压力的升高而增大
p Z 液体 Z
(b) 随温度的升高而减小
T Z ] 液体 ]
2-1 导热基本定律和热导率
C 固体的导热系数
金属 12 ~ 418 W (mC) 非金属 0.025 ~ 3 W (mC)
z
t z
dxdydz
总导入： d x y z
z
zdz
ydy
x
xdx
dz dy
dx
y
z
x
y
x
t x
y
t y
z
t z
dxdydz
2-2 导热微分方程和定解条件
内热源产生的热量：V &dV &dxdydz
热力学能增量：
U
固体、不可压流体
c
t
dxdydz
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
t
2t a(x2
2t y2
2t z2 )
& a2t
c
&
c
式中，a /(c)，称为热扩散率。
2-2 导热微分方程和定解条件
②导热系数为常数、无内热源
t
a(
2t x2
2t y 2
2t z 2
)
a2t
③导热系数为常数、稳态
2t 2t 2t &
x2 y2 z2 0
2t & 0
④导热系数为常数 、稳态 、无内热源
dt tw1 tw2
dx
通过平壁的热流密度可由傅立叶定律得出
q dt tw1 tw2 t dx rd
或
qA tw1 tw2 t
A Rd
2-3 一维稳态导热
二 多层平壁 各层均质，层与层之间无接触热阻。
n
Rd
R di
i 1
tw1
n
tw,n1
R di
i 1
i
tw,i1 tw1 Rdj j 1
第二章 导热基本定律和稳态导热
研究方法： 从连续介质的假设出发、从宏观的角度来讨论
导热热流量与物体温度分布（温度场）及其他影响 因素之间的关系。
主要内容： （1）与导热有关的基本概念； （2）导热基本定律； （3）导热现象的数学描述方法。
2-1 导热基本定律和热导率
一、 温度场和温度梯度 温度场：某一时刻空间所有各点的温度分布。
特点：纯金属： T Z ]
合金和非金属：T Z Z
保温材料（绝热材料）：国家标准规定，温度低 于350度时导热系数小于 0.12W/(m∙K) 的材料。
2-2 导热微分方程和定解条件
（ 1 ）一维稳态导热问题，直接由傅里叶定律积分
求解。
A t
（ 2 ）多维稳态导热和非稳态导热问题，首先获得 温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间 各点的热流密度矢量。
cp cV c
据能量守恒定律：
d +V U
x
t x
y
t y
z
t z
dxdydz
&dxdydz
c t dxdydz
2-2 导热微分方程和定解条件
c
t
x
t x
y
t y
z
t z
&
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式
几个特例：
①导热系数为常数
n0 n n
直角坐标系（笛卡尔坐标）中
gradt
t
v i
t
v j
t
v k
x y z
0
注意：温度梯度是矢量；正向朝着温度增加的方向。
2-1 导热基本定律和热导率
二、 导热基本定律 1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究 基础上，发现导热基本规律 —— 傅里叶定律
qv gradt t nv W/m2
qw
(
t n
)
w
fw ( )
最简单的情况下，qw const
2-2 导热微分方程和定解条件
（3）第三类边界条件：给定物体边界与周围流体 间的表面传热系数 h 及周围流体的温度 tf
s
(
t n
)w
h(tw
tf
)
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
2-2 导热微分方程和定解条件
导热傅里叶定律和导热微分方程的适用范围 1）适用于热流密度不很高而过程作用时间足够长， 同时傅立叶定律也适用该条件。
15.8 C 11.8 C 7.8 C 0.2 C -8.2 C
房屋墙角内的温度场 -12.2 C
2-1 导热基本定律和热导率
等温线（面）的特点： 1）物体中的任一条等温线要么形成封闭的曲线， 要么终止在物体的表面上； 2）任何两条等温线不相交； 3 ）沿等温线（面）无热量传递； 4）当等温线图上每两条相邻等温线间的温度间隔 相等时，等温线疏密可直观反映出不同区域导热热 流密度的相对大小 。
在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。
2-1 导热基本定律和热导率
三、导热系数(热导率)
r
- q
grad t
(1)物理意义：热导率的数值就是物体中单位温度梯度、单
位时间、通过单位面积的导热量 W (mC) 。热导率的数
值表征物质导热能力大小，由实验测定。通常
金属 非金属; 固相 液相 气相
t
tw1
tHale Waihona Puke Baidu2
Φ
tw3 tw4
δ1 δ2 δ3 x
tw1
tw2
tw3
tw4
其温度分布规律为：
1
2
3
1
2
3
单层内为直线分布，总分布图为折线。
2-3 一维稳态导热
三 通过圆筒壁的导热 ①单层圆筒壁
导热微分方程式为
d dr
r
dt dr
0
边界条件为 r = r1 , t = tw1 r = r2 , t = tw2
2t x2
2t y 2
2t z 2
0
2t
0
2-2 导热微分方程和定解条件
热扩散率（导温系数）a (1)热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力
（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系。
(2) a 值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部
分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。
2）在极短时间内产生极大的热流密度的热量传递 现象，如激光加工过程不适用。
3）极低温度（接近于0K）时的导热问题也不适用。
2-3 一维稳态导热
一 单层平壁的导热 a 几何条件：单层平板；
b 物理条件：、c、 已知；无内热源
c 时间条件：稳态导热: t 0
d 边界条件：第一类
o x
2-3 一维稳态导热
W/m2
qA 2 rl tw1 tw2 tw1 tw2
W
r ln(r2 / r1)
1
2l
ln(r2
/
r1)
2-3 一维稳态导热
圆筒壁单位长度的热流密度
l l
t1 t2 1 ln( r2 )
2 r1
W/m
圆筒壁稳定导热时， 沿半径方向的热流量 不变， 则圆筒壁单位长度的 热流密度也不变。
(3) a 表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力，所以a反应导热过程动态特 性，是研究不稳态导热重要物理量。
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
导热热阻为 R 1 ln d2
2l d1
mK / W
管内任意点温度
twx
tw1
tw1 tw2 ln d2
ln
dx d1
d1
2-3 一维稳态导热
② 多层圆筒壁
tw1 tw,n1 n 1 ln di1
i1 2il di
r1 r2 r3
r4
tw1
tw2
tw3
tw4
i 为层数
1 ln d2
21l d1
2-2 导热微分方程和定解条件
一 、导热微分方程
理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒定律 意义：揭示连续物体内温度场随空间坐标和时间
变化的内在联系。
方程推导假设： （1）所研究的物体是各向同性的连续介质 ； （2）热导率、比热容和密度等已知； （3）内热源均匀恒定，强度为 & 。 &表示内热源单位时间单位体积发出的热量。
平壁的导热微分方程式为
d 2t 0
dx 2
tw1 Φ
A t
tw2
边界条件为 x = 0 , t = tw1 x = , t = tw2
将上式积分得： t x
tw1
tw1
tw2
x
0 xδ x
tw1 Φ
tw2
Rd
A
2-3 一维稳态导热
当热导率为常数时, 平壁内的温度呈线性分布, 温度分布曲线的斜率为
c t
1 r2
r
( r 2
t ) r
1
r2 sin2
(
t )
1
r2 sin
( sin
t ) &
2-2 导热微分方程和定解条件
方程说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的 增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使 微分元体在单位时间内增加的能量（扩散项） ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导 热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消 失。
单位时间 x 方向
z
zdz
ydy
导入：
x
t x
dydz
导出：
xdx
x
x x
dx
x
xdx
dz dy
dx
y
z
x
y
x
x
t x
dydz
dx
x
x
t x
dxdydz
2-2 导热微分方程和定解条件
净导入：
x
x
xdx
x
t x
dxdydz
同理：
y
y
t y
dxdydz
z