第六章 有限字长效应

i
( q [ e c ] T 0 )发生在被截去
11
2013/5/21
2、舍入误差
0. 1 0 1 0 1 0 1 0 …………… b b1 舍去：0.1010-->信号比原来小; 舍入：0.1011-->信号比原来大; 所以，最大误差为q/2,最小误差为-q/2 0
舍入量化误差范围为|en|<q/2
对于正数和负数补码、负数的原码与负数反码 的舍入误差都为：

q q E R， E c 2 2
§6.2 定点制表示及量化误差
截尾误差
E T Q[ x ] x q ET 0 0 ET q
q 2 b
正数和补码负数截尾误差范围为
原码负数和反码负数截尾误差范围为
舍入误差范围
溢出，使其变为负数
（2）乘法：不会溢出，但字长加倍
例：b=3=>0.101 ×0.011 101 101 0.001111 成为六位数，截尾变成0.001。 产生误差。
8
2013/5/21
§6.2 定点制表示及量化误差
理论上十进制数可用无穷多位二进制数表示
x B0 Bn 2 n
n 1
§6.2 定点制表示及量化误差
二进制的表示 1、定点制：小数点在数码中的位置固定不变 2、浮点制：将一个数表示成尾数和指数两部分
x 2c M
如：3＝0.75×22表示成0.11×2010 寄存器中 0.11010 尾数：bm＋1位 决定运算精度 阶码：bc＋1位 决定动态范围
通常为1，当 不为1时调整 阶码，使其为 1
2013/5/21
第六章 有限字长效应
概述 定点制表示及量化误差 滤波器系数量化误差 数字滤波器的定点运算误差
§6.1 概述：问题的提出
数字系统，存储单元的容量有限。 有限字长的影响，主要表现在以下三方面
(1) 输入信号经A/D变换而产生的量化误差 (2) 滤波器的系数量化误差。
即A/D变换器将模拟 (3) 运算误差。 即把系统系数用有限 数字运算运程中，为限制 输入信号变为一组离 二进制数表示时产生 位数而进行尾数处理，以 散电平时产生的量化 的量化误差。及为防止溢出而压缩信号 误差。 电平的有效字长效应
符号位
有效数字位
实际中，只能用有限位近似表示(b+1)位，这种 过程称为量化。
§6.2 定点制表示及量化误差
尾数处理方法
截尾 b+1位以后都丢掉
截尾误差
尾数处理方法 舍入 舍入误差
b+2位为1，b+1 位为1 b＋2位为0 b+2位以后都丢掉
9
2013/5/21
§6.2 定点制表示及量化误差
截尾量化
13
2013/5/21
§6.2 定点制表示及量化误差
截尾误差与舍入误差的概率密度
截尾误差：正数与负数补 码截尾误差： 截尾误差：负数原码与负数 反码截尾误差：
P（e) 2b 0 e P（e) 2b 2-b e
-2-b
舍入误差：
-2-b/2
0 P（e) 2b 0 2-b/2
e
§6.2 定点制表示及量化误差
ห้องสมุดไป่ตู้


15
2013/5/21
(1)对于舍入误差
1 / q q / 2 e(n) q / 2 P (e) 0 其余
q 2 q 2 q 2 q 2
P（e) 2b
q 2 q 2
均值：me e(n) p (e(n)) de(n) 方差： 2 e me 0 2 q2 e 12
§6.2 定点制表示及量化误差
量化误差信号e(n)的均值me和方差 2 e
2 e E[( e( n) m e ) 2 ] (e m e ) 2 p (e) de E[] : 数学期望，m e 与n无关 p (e)：误差e的概率密度
m e E[e( n)] e( n) p (e( n)) de( n) ep (e) de
q 2 ER q 2
区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。
一般来讲截尾误差>舍入误差
12
2013/5/21
§6.2 定点制表示及量化误差
量化误差的统计方法 上面我们分析了量化误差的范围，但 要精确地知道误差究竟是多大，几乎是 不可能的。视信号具体情况而定。 所以我们只要知道量化误差的统计效 应即可。它可以作为设计的依据。例如： A/D变换器量化误差--决定A/D所需字长。
Q[x] 3q 2q q 4q 3q 2q q x 3q 2q q x
舍入量化
Q[x]
q
q
2q 3q 4q
4q 3q 2q q
q
q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
截掉b位后数据
Q[ x] B0 Bn 2 n
n 1 b
视b+1位后数据的大 小决定b位数据的值
量化误差的定义
根据以上假设可知： 量化误差是：一个与信号序列完全不相关的白噪 声序列，即称量化噪声。它与信号的关系是相加 性的。
14
2013/5/21
§6.2 定点制表示及量化误差
量化噪声的统计模型
xa(t) x(n)=xa(nT)
ˆ(n) x(n) e(n) x
理想A/D采样器
e(n)
6
2013/5/21
原码
缺点：原码不能直接参加运算，可能会出错。例如 数学上，1+(-1)=0，而在二进制中 原码 00000001+10000001=10000010， 换算成十进制为-2。 存在两个零； 优点： 适合绝对值比较的计算（如，幅度相关运算 ）
反码
• 两个零 • 需要加上进位，循环电路实现不方便
§6.2 定点制表示及量化误差
定点制二进制数的表示
定点二进制数x有原码、反码和补码三种表示形式 若x=0.X1 X2 Xb，则其原码、反码和补码分别定义为
x 0. X 1 X 2 [ x ]原 x 1. X 1 X 2 Xb Xb 0 x 1 1 x 0
1
2013/5/21
§6.1概述
字长的定义
用来表示数的寄存器位数
字长有限: 8,16,32,64 有限字长效应定义：量化和运算误差给数字信号 处理的实现精度和滤波器稳定性带来不良影响 重点解决：
有限字长效应造成的误差影响有多大？
两种分析方法
各种误差源的最不利组合－－造成y(n)的最大误差 各种误差的统计特征－－输出误差的统计特征
4
2013/5/21
§6.2 定点制表示及量化误差
二进制的表示 1、定点制：小数点在数码中的位置固定不变 2、浮点制：将一个数表示成尾数和指数两部分 IEEE 754标准 单精度：符号位 1bit 指数位8bit 尾数位23bit 共计32bit 双精度：符号位 1bit 指数11bit 尾数 52bit 共计64bit
7
2013/5/21
补码
在计算机系统中，数值一律用补码来表示。 • 使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同 时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补 码 表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位 ，则进位被舍弃。 • 补码与原码的转换过程几乎是相同的。 存在一个零
2、定点表示产生误差
（1）加法：任何加法运算不会增加字长，但 可能产生溢出 xB1 0.110-->0 110 + xB2 0.011-->0 011 xB1+xB2=9/8 1.001,其真值为-7/8，
的位数上的数 同样，负数截尾量化误差，最大误差=±q,最小误 都为1情况。 差=0. b b1-b -1 -b 最小误差 1. 2 ……………..2 0 0 …………...0 最大误差 1. 2-1 ……………..2-b 1 1 ……………1
i b 1
B
发生在被截去 的位数上的数 都为0情况。
x 0. X 1 X 2 X b 0 x 1 [ x ]反 2 x 1. X 1 X 2 X b 1 x 0 x 0 x 1 [ x ]补 2 x 1 x 0
5
2013/5/21
例子：（1）原码
从x10=0.75和x10=-0.75看看原码、补码、反码 的表示方法。 解:（1）原码为 0. 1 1 0 0 x10=0.75=>(x2)原=0.110原码 1. 1 1 0 0 x10=-0.75=>(x2)原=1.110原码 通用公式： 正数： 0. 2-1……...2-b b x10 ( 1) B 0 B i z i 负数： 1. 2-1……...2-b
§6.1概述—研究目的
1.若字长（通用计算机）固定，进行误差分析，可知结果的 可信度，若置信度差，要采取改进措施。 2.用专用DSP芯片实现数字信号处理时，定点与硬件采用字 长有关： (1)一般采用定点实现，涉及硬件采用的字长。 (2)精度确定字长。因此，必须知道为达到设计要求所需精度 下必须选用的最小字长。 (3)由最小字长选用专用DSP芯片类型
（2）对于负数的截尾量化误差
截尾量化误差与负数表示方式有关。
x(n) X
B
i 1
b1
i
2 i
还没截尾
负数原码表示，其截尾量化误差：
[ e c ]T
负数反码表示，其截尾量化误差：
i b 1
B
b1
b1
i
2 i 2 i
( 0 [ e c ]T q )
[ e c ]T
§6.2 定点制表示及量化误差
截尾误差
（1）对于正数的截尾量化误差 （2）对于负数的截尾量化误差
10
2013/5/21
（1）对于正数的截尾量化误差
一个信号x(n)：
x(n) X
由于有限字长： 看出:b1>b
B
i 1 b i 1
b1
i
2 i
i
还没截尾 截尾
发生在被截去 的位数上的数 都为0情况。 发生在被截去 的位数上的数 都为1情况。
§6.2 定点制表示及量化误差
量化误差信号e(n)四个假设
为了进行统计分析，对e(n)的统计特性作以下假设：
(1)e(n)是平稳随机序列 即它的统计特性不随时间变化。即 e ( n )
,
2 n 均与n无关。
(2)e(n)与取样序列x(n)是不相关的。即E[e(n)*x(n)]=0(互相关函数 =0）e(n)与输入信号是统计独立的。 (3)e(n)序列本身的任意两个值之间不相关。 即e(n)本身是白噪声序列 E[e(n)*e(n-m)]=0(自相关函数=0） (4)e(n)在误差范围内均匀分布（等概率分布的随机变量）即P(e) （概率密度）下的面积=1
1 ede 0 q 1 q 3 q 3 q2 2 (e me ) p (e)de [( ) ( ) ] 3q 2 2 12
-2-b/2
0
2-b/2
e
(2)对于正数及负数补码截尾误差
1 / q q e(n) 0 P (e) 0 其余 0 1 均值：me ep (e)de e 2 q 2q 方差： 2 e q m e 2 2 e2 q 12
i 1
其中B0:符号位，B0=1代表负数； Bi：i=1,b,其中b代表字长位数，B1~Bb代表b位 字长的尾数
§6.2 定点制表示及量化误差
（2）反码和补码
x10=0.75=>(x2)反=0.110=原码 x10=-0.75=>(x2)反=1.001=除符号位外原码各位取反 x10=0.75=>(x2)补=0.110=原码 x10=-0.75=>(x2)补=1.010=反码+1
2
2013/5/21
第五章 有限字长效应
概述 定点制表示及量化误差 滤波器系数量化误差 数字滤波器的定点运算误差
§6.2 定点制表示及量化误差
二进制数的表示 量化及量化误差
3
2013/5/21
§6.2 定点制表示及量化误差
二进制的表示
1、定点制：小数点在数码中的位置固定不变 如：0.375 （0.011）2 1个符号位；b位尾数位 b＋1位寄存器 －1～＋1之间 绝对值小于1
[ X ]T
B
2 i
b1
所以，原码和补码的截尾误差为：
[ e ]T [ X ]T X
截尾量化误差范围为： 最小误差： [ e ]T 0
b1
i b 1
B
i
2 i
最大误差： [ e ]T B i 2 i q
0. 2-1 0. 2-1
i b 1 b b1-b -b 最小误差 ……………..2 0 0 …………...0 最大误差 ……………..2-b 1 1 ……………1