常微分方程(王高雄)第三版 4.3ppt课件
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§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
.
1
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F(t,x,x',,x(n))0
1 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是
F (t,x (k ),x (k 1 ), ,x (n )) 0 (4 .5)7
若令 x(k) y,则可把方 y的 程 nk化 阶为 方程
y,
则方程化为
dy1 y 0
dt t
这是一阶方程,其通解为 yct,
即有
d 4x dt 4 ct ,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c 1 t5 c 2 t3 c 3 t2 c 4 t c 5 ,
.
4
2 不显含自变量t的方程,
一般形式:
F (x,x', ,x(n))0 , (4 .5)9
此时 y以 x'作为新的,而 未x把 知 作函 为数 新的 ,
代入(4.69)得
x'' x1y'' 2x1 'y' x1 ''y
x 1 y '' [ 2 x 1 ' p ( t ) x 1 ] y ' [ x 1 '' p ( t ) x 1 ' q ( t ) x 1 ] y 0
即
x1y''[2x1 ' p(t)x1]y' 0
.
9
引入新的未知函数 z y ' , x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' 0
显 然 xi 0 ,i1 ,2 ,L,k,令xxky,则 x' xky' xk' y
x'' xky'' 2xk ' y' xk ''y LLL x ( n ) x k y ( n ) n x k 'y ( n 1 ) n ( n 2 1 )x k ''y ( n 2 ) L x k ( n )y
因为 dx y ,
d 2x
dt dy
dy
dt 2 dt dx
d3x d d2x dt3 dt dt2
d dt
dx ydy ,
dt (y
dy
)
dx
d(y
dy dx
)
dx
dx
dx dt
y
(
d d
y x.
)
2
y2
d2y dx 2
,
5
用数学归纳法易得:
x(k)可y用 ,d dy x,,d d(k(x k1 )1y) (kn)来表达
解题步骤:
(4.69)
第一步: 令 xx1y方 程 变 为 x1y''2 [x1 ' p(t)x1]y' 0
第二步: 令 zy'方 程 变 为
x1ddzt2[x1' p(t)x1]z0
即
解之得
z c e p(t)dt , x12
xx1[c1c2 x 1 .1 2ep(t)dtdt],
(4.70) 12
F(t,y,y',,y(nk))0
第二步: 即
求以上方程的通解
y(t,c1,,cnk) x(k)(t,c1,,cnk)
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x(t,c1,,cn),这c1里 ,,cn为任常
.
3
例1 求方dd程 55xt 1t dd44xt 0的通. 解
解
令
d 4x dt 4
x2 x1 x112ep(t)dtdt,
因 它 与 x 1 之 比 不 等 于 常 数 ,故 x1,x2线 性 无 关
因此 (4.69)的通解为
xx1[c1c2 x 1 1 2ep(t)dtdt],
这 里 c1,c2是 任 常 数 .
(4.70)
.
11
d2xp(t)dxq(t)x0,
dt2
dt
第二步: 求以上方程的通解
y(x,c1,,cn1)
第三步: 解方程
ddxt(x,c1,,cn1)
即得.原方程的通解
7
例2 求方xd程 d22xt (ddxt)20的通. 解
解 令 dx y,并以x作为新的自,变量 dt
则方程化为 从而可得
xydy y2 0
dx y 0,
及 dy y ,
dx x
将这些表达式代入(4.59)可得:
F(x,y,yd dy x,y(d dy x)2y2d dx 2y 2,L)0
即有新方程
G(x,y,d d
yx,,dd(n(xn1)1y) )0
它比原方程降低一阶
.
6
解题步骤:
第一步:
令yx',并y为新的未知 ,x为函新数的
自变,原 量方程化为
G(x,y,d d
yx,,dd(n(xn1)1y) )0
这两方程的全部解是 yc1x,
再代回原来变量得到
dx dt
c1 x ,
所以得原方程的通解为 x c2ec1t ,
.
8
3 已知齐线性方程的非零特解方程
d2xp(t)dxq(t)x0,
dt2
dt
的非零解
(4.69)
令 x x1 y 则 x' x1y' x1' y
第三步: 令 c 1 0 ,c 2 = 1 得 与 x 1 线 性 无 关 一 个 解 :
x2 x1 x112ep(t)dtdt,
第四步: (4.69)的通解为
xx1[c1c2
1ep(t)dtdt], x1 2
这 里 c1,c2是 任 常 数 .
(4.70)
注 一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)
方程变为 x1ddzt[2x1' p(t)x1]z0
是一阶线性方程,解之得
z
c x12
e p(t)dt ,
则 因而
yc2
1 x12
ep(t)dtdtc1,
xx1[c1c2 x 1 1 2ep(t)dtdt],
(4.70)
这 里 c1,c2是 任 常 数 . .
10
令 c 1 0 ,c 2 = 1 得 ( 4 . 6 9 ) 的 一 个 解 :
sin t
t
[c1
c2
co
t
t]
1
t
[c1sint
c2 .
cost]
这 里 c1,c2是 任 常 数 14.
.
15
(2) 一般已知齐线性方程
d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 L a n(t)x 0 (4 .2 )
的 k 个 线 性 无 关 的 解 x 1 ,x 2 ,L ,x k ,
.
13
例3 已 知 xsitnt是 方 程ddt22x2 t d dxtx0的 解 ,
试 求 方 程 的 通 解 .
解 这里
p(t)
2, t
x1
sint t
由(4.70)得
x sin t t
[c1 c2
t2 sin2
e2t dtdt] t
sint
t
[c1
c2
t2 1 sin2t t 2
d t]
F (t,y ,y ', ,y (n k)) 0 (4 .5)8
解得 y(t,c1,,cnk)
即 x(k)(t,c1,,cnk)
积分
x(t,c1,,cn),这 . c1里 ,,cn为任常 2
F (t,x (k ),x (k 1 ), ,x (n )) 0 (4 .5)7
解题步骤:
第一步: 令x(k) y,则方程化为
.
1
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F(t,x,x',,x(n))0
1 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是
F (t,x (k ),x (k 1 ), ,x (n )) 0 (4 .5)7
若令 x(k) y,则可把方 y的 程 nk化 阶为 方程
y,
则方程化为
dy1 y 0
dt t
这是一阶方程,其通解为 yct,
即有
d 4x dt 4 ct ,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c 1 t5 c 2 t3 c 3 t2 c 4 t c 5 ,
.
4
2 不显含自变量t的方程,
一般形式:
F (x,x', ,x(n))0 , (4 .5)9
此时 y以 x'作为新的,而 未x把 知 作函 为数 新的 ,
代入(4.69)得
x'' x1y'' 2x1 'y' x1 ''y
x 1 y '' [ 2 x 1 ' p ( t ) x 1 ] y ' [ x 1 '' p ( t ) x 1 ' q ( t ) x 1 ] y 0
即
x1y''[2x1 ' p(t)x1]y' 0
.
9
引入新的未知函数 z y ' , x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' 0
显 然 xi 0 ,i1 ,2 ,L,k,令xxky,则 x' xky' xk' y
x'' xky'' 2xk ' y' xk ''y LLL x ( n ) x k y ( n ) n x k 'y ( n 1 ) n ( n 2 1 )x k ''y ( n 2 ) L x k ( n )y
因为 dx y ,
d 2x
dt dy
dy
dt 2 dt dx
d3x d d2x dt3 dt dt2
d dt
dx ydy ,
dt (y
dy
)
dx
d(y
dy dx
)
dx
dx
dx dt
y
(
d d
y x.
)
2
y2
d2y dx 2
,
5
用数学归纳法易得:
x(k)可y用 ,d dy x,,d d(k(x k1 )1y) (kn)来表达
解题步骤:
(4.69)
第一步: 令 xx1y方 程 变 为 x1y''2 [x1 ' p(t)x1]y' 0
第二步: 令 zy'方 程 变 为
x1ddzt2[x1' p(t)x1]z0
即
解之得
z c e p(t)dt , x12
xx1[c1c2 x 1 .1 2ep(t)dtdt],
(4.70) 12
F(t,y,y',,y(nk))0
第二步: 即
求以上方程的通解
y(t,c1,,cnk) x(k)(t,c1,,cnk)
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x(t,c1,,cn),这c1里 ,,cn为任常
.
3
例1 求方dd程 55xt 1t dd44xt 0的通. 解
解
令
d 4x dt 4
x2 x1 x112ep(t)dtdt,
因 它 与 x 1 之 比 不 等 于 常 数 ,故 x1,x2线 性 无 关
因此 (4.69)的通解为
xx1[c1c2 x 1 1 2ep(t)dtdt],
这 里 c1,c2是 任 常 数 .
(4.70)
.
11
d2xp(t)dxq(t)x0,
dt2
dt
第二步: 求以上方程的通解
y(x,c1,,cn1)
第三步: 解方程
ddxt(x,c1,,cn1)
即得.原方程的通解
7
例2 求方xd程 d22xt (ddxt)20的通. 解
解 令 dx y,并以x作为新的自,变量 dt
则方程化为 从而可得
xydy y2 0
dx y 0,
及 dy y ,
dx x
将这些表达式代入(4.59)可得:
F(x,y,yd dy x,y(d dy x)2y2d dx 2y 2,L)0
即有新方程
G(x,y,d d
yx,,dd(n(xn1)1y) )0
它比原方程降低一阶
.
6
解题步骤:
第一步:
令yx',并y为新的未知 ,x为函新数的
自变,原 量方程化为
G(x,y,d d
yx,,dd(n(xn1)1y) )0
这两方程的全部解是 yc1x,
再代回原来变量得到
dx dt
c1 x ,
所以得原方程的通解为 x c2ec1t ,
.
8
3 已知齐线性方程的非零特解方程
d2xp(t)dxq(t)x0,
dt2
dt
的非零解
(4.69)
令 x x1 y 则 x' x1y' x1' y
第三步: 令 c 1 0 ,c 2 = 1 得 与 x 1 线 性 无 关 一 个 解 :
x2 x1 x112ep(t)dtdt,
第四步: (4.69)的通解为
xx1[c1c2
1ep(t)dtdt], x1 2
这 里 c1,c2是 任 常 数 .
(4.70)
注 一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)
方程变为 x1ddzt[2x1' p(t)x1]z0
是一阶线性方程,解之得
z
c x12
e p(t)dt ,
则 因而
yc2
1 x12
ep(t)dtdtc1,
xx1[c1c2 x 1 1 2ep(t)dtdt],
(4.70)
这 里 c1,c2是 任 常 数 . .
10
令 c 1 0 ,c 2 = 1 得 ( 4 . 6 9 ) 的 一 个 解 :
sin t
t
[c1
c2
co
t
t]
1
t
[c1sint
c2 .
cost]
这 里 c1,c2是 任 常 数 14.
.
15
(2) 一般已知齐线性方程
d d tn n x a 1 (t)d d tn n 1 x 1 L a n(t)x 0 (4 .2 )
的 k 个 线 性 无 关 的 解 x 1 ,x 2 ,L ,x k ,
.
13
例3 已 知 xsitnt是 方 程ddt22x2 t d dxtx0的 解 ,
试 求 方 程 的 通 解 .
解 这里
p(t)
2, t
x1
sint t
由(4.70)得
x sin t t
[c1 c2
t2 sin2
e2t dtdt] t
sint
t
[c1
c2
t2 1 sin2t t 2
d t]
F (t,y ,y ', ,y (n k)) 0 (4 .5)8
解得 y(t,c1,,cnk)
即 x(k)(t,c1,,cnk)
积分
x(t,c1,,cn),这 . c1里 ,,cn为任常 2
F (t,x (k ),x (k 1 ), ,x (n )) 0 (4 .5)7
解题步骤:
第一步: 令x(k) y,则方程化为