矩阵与变换

专题讲义：矩阵与变换

一、知识要点 1．矩阵的概念

（1）矩阵：由mn 个数()n j m i a ij ≤≤≤≤1,1，排成m 个横行n 个竖列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 21

2222111211 称为m 行n 列矩阵或m ×n 矩阵，简称矩阵，数ij a 称为矩阵的元素，其中i ，j 分别表示元素ij a 所在的行与列.

一般地，用黑体大写拉丁字母A ，B ，…或者()

m n

ij

a ，()

ij a 来表示矩阵，同一横排中按原来次序排列的一行数

（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列.

（2）方阵：n ×n 矩阵⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 2

1

22221

11211也称为n 阶方阵. 注：在n 阶方阵中，一条从左上角到右下角的由元素a 11，a 12，…，a nn 构成的对角线称为主对角线，一条从左下角到右上角的由元素a n 1，a (n -1)2，…，a 1n 构成的对角线称为副对角线， （3）零矩阵：所有元素都为零的矩阵叫做零矩阵，记为0.

（4）单位矩阵：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的n ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡100010001 称为n 阶单位矩阵，记为E n ，或简记为E

（5）行矩阵与列矩阵：

像[a 11 ，a 12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵.，像⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2111a a 这样只有一列的矩阵称为列矩阵. 并用希腊字母α，β，…来表示.

注：平面上向量),(y x =和平面上的点),(y x P 都可以看做是行矩阵[]y x

，

也可以看做是列矩阵⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x .因此，我们常将[]y x 称为行向量，而将⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 称为列向量.习惯上，我们把平面向量),(y x 的坐标写成列向量⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x 的

形式.又因为OP y x P 平面向量一一对应

−−−→←),(，因此，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x 既可以表示点),(y x ，也可以表示以)0,0(O 为起

点、以),(y x P 为终点的向量⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x .故在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别.

（6）：矩阵相等：对于两个矩阵A 和B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B . 2．矩阵的乘法

（1）行矩阵与列矩阵的乘法：[]1211a a ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2111b b []21121111b a b a +=.

（2）二阶矩阵与平面列向量的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0220

2101201100y a x a y a x a y x . （3）二阶矩阵的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2221

1211a a a a ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222122121221121221212112112111122211211b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b . （4）矩阵乘法的简单性质：

①矩阵的乘法满足结合律：(AB )C ＝A (BC )

②矩阵的乘法不满足交换律：一般地，AB ≠BA

③矩阵的乘法不满足消去律：一般地，AB ＝AC 时，不一定有B ＝C

注：矩阵乘法的MN 的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换（先T N 后T M ）的复合变换.当连续对向量实施),1(*∈>N n n n 且次变换T M 时，对应的记.

M

n n

M M M M 个⋅⋅⋅= 3．变换的概念：一般地，对于平面上的任意一个点（向量）),(y x ，按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点（向量）),(y x ''，则称T 为一个变换，简记为T ：),(),(y x y x ''→ ，或T ：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'

'→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x .

注：对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x y x ，那么，根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T ：⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a y x y x ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然),,,(R d c b a ∈. 4．几种常见的平面变换 （1）恒等变换

①恒等变换定义：把任何一点（向量）或图形变换为自身的变换称为恒等变换. ②恒等变换矩阵：⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡1001 （2）伸压变换

①伸压变换定义：把沿竖直方向或水平方向伸长或压缩的平面图形变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换.

②伸压变换矩阵：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡k y k

x 001100轴垂直伸压变换矩阵沿轴垂直伸压变换矩阵沿（当10<k 时，伸长；） （3）反射变换

①反射变换定义：将一个图形F 变为关于定直线或定点对称的图形F '的变换称为反射变换. 关于定直线对称的变换称为轴反射变换；关于定点对称的变换称为中心反射变换；其中，定直线称为反射轴，定点称为反射点.

②反射变换矩阵：⎪⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪⎨

⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-0110100110011001对称的反射变换矩阵

关于换矩阵关于原点对称的反射变轴对称的反射变换矩阵关于轴对称的反射变换矩阵关于x y y x