不等式恒成立与有解问题

差异 ， 当使 用 等 价 转化 ， 不 可混 恰 切 淆． 于含 有 等号 的 恒成 立 问题 可 以 对 同上 进 行 相应 的 转化 ．
２ ．不 等 式 恒 成 立 与 有 解 的 基 本 策 略 （ ） 别 式 法 ： 于 定 义 在 Ｒ上 １判 对
考 中 的 主 观 题 和 客 观 题 都 会 出现 ． 要 注意 对 问题 进 行 等 价 转 换 ，以便
总 体 来 说 ，将 不 等式 恒 成立 与
有解 问题 化 归 为 函数 问题 ．利 用 函
区 间上 具 有 单 调性 的 函数 。通 过 用
１ ．不 等式 恒成 立 与 有解 的基 本
思 路
（ ） 等式 ） 后 ２不 ＜ 在 ∈， 有 解 时
仁 ） ， Ｉ或厂 ） ∈ ， （ 的下界小于ｋ ．
（ ） 等式 ） ３不 ＞ 在 ∈， 时恒 成 立 （ ＞ ， ） ∈Ｉ （ ） ， 的下 界 大 于 等 于 ．
知 不 等 式 恒 成 立 ，求 其 中 的参 数 的 取 值 范 围 ； 在 性 问 题 ， 是 否存 在 存 即
含 变 量 又 含 参 数 ，往 往 与 函数 、 数 列 、 程 、 何 有 机 结 合 起 来 ， 有 方 几 具
形 式 灵 活 、 维 性 强 、 同知 识 交 汇 思 不 等 特 点 ．在 高 考 试 题 中 涉及 的 题 型 主 要 是 ： 明 某 个 不 等式 恒 成 立 ： 证 已
（） １不等式厂 ） ∈ｆ （ ＜ 在 时恒成
立 乍 ） ＜ ＥＩ ～ ， ， 于 等于ｋ ． ） 上 界 小 的
究新 函数 的 最 大 （ ） 所适 合 条 件 小 值
的 问题．
（ ） 象 特 征 法 ： 合 函数 的 图 ５图 结 象 ， 用 函数 图象 的上 、 位 置 关 系 利 下 来 确 定参 数 的 范 围．如 ：不 等 式 — ｚ ｌｇ ＜ ， ｏ ￣ Ｏ 在 ∈（ ，． ） 恒 成 立 ， ｘ ０ ０５ 时 求ａ
￣ （）ｘ ｘ ２２７ Ｈ （）Ｏ 区间 ｆｘ ＝％ａ＋ ａ ， ｆｘ ＞ 在 —
［ １ ＋ 。 上 恒 成 立 ， 实 数ａ 一 ， 。） 求 的取 值 范 围．此 题 不 能用 分 离 参数 法 来 解 ．
只 能通 过讨 论 对 称 轴 的位 置求 解． （ ） 换 主 元 法 ： 如 ， 一 切 ７变 例 对 ０ ≤１ 不 等 式３ ２ａ ＋ ａ ３ ０ 成 ≤０ ， ｘ－ ｘ ３ 一 ＜ 恒
的 函数 ，将 问题 转 化 为 求 函 数 在 其 指 定 范 围 内的最 值 或 上 （ ） 的问 下 界 不 等 式 恒 成 立 与 有 解 的 问 题 既 题 ．主 要类 型 如下 ：
取 值 范 围． （ ） 值 法 ： 多 不 等 式 恒 成 立 ４最 很 与 有 解 问题 可 转 化 为 构 造 函 数 ， 研
琐 ， 用 参 数 ａ 为 变 量 ， 造 关 于ａ 但 作 构
的 一 次 函数 ｈ ａ ： ３ ｘ ａ ３ ２３ 只 ） （ － ）＋ ｘ－ ，
要 满 足 ｈ Ｏ ＜ 且 ｈ １＜ ￣ 可 ． （ ） ０ （ ）Ｏ ｌ Ｊ
所 适 合 的不 等式 ． 而求 得 其范 围． 进
（ ） 调 性 法 ： 于 在 所 研 究 的 ３单 对
一
的取值 范围．谢 （） ，（）ｌ ￣， ｇｘ ＝ｏ ｘ ｇ
然 后 在 同一 直 角 坐标 系 中 准确 做 出 这两 个 函数 的图 象 ，借 助 图象 观 察 便 可 求解 ． （ ） 类 讨 论 法 ： 如 ， 知 函 ６分 例 已
个 参 数 的值 使 已知 不 等 式成 立 ．
作 为 主 元 ，则 无 论 是 分 离 变 量 还 是 研 究 二 次 不 等 式 的 公 共 解 都 很 烦
（ ） 离 参 数 法 ： 能 将 恒 成 立 ２分 若 不 等 式 中所 涉 及 的 两 个 变 量 分 离 。
使 它 们 分 别 在不 等 式 的一 边 ，则 可
由 一 个 变 量 的 范 围 推 出 另 一 个 变 量
找 到简 捷 的解 题 途径 ． 难 点 ： 一 ， 造 恰 当 的 函数 ： 其 构 其 二 ，选 择 恰 当 的 方 法 研 究 函 数值 的 取值 范 围．
的二 次 函 数 的恒 成 立 问题 仅 用 一 元 二 次 方程 根 的判 别式 即可解 决 ．
立 ， 实数 求 的取 值 范 围．若 用 变 量
数 的应 用 ．能够 用 导 数 研 究 函数 的 性 质 ，特 别 是 判 断 函数 的单 调 性 和 求 函数 的 最 值 ：掌 握 解 决 不 等 式 与
有 解 的常 用 方 法 ， 重视 化 归 、 形 结 数 合 、 类 讨 论 、 数 与方 程 等 数 学 思 分 函 想 在解 题 中 的应 用 ．这 类 问 题 在 高
重 点 ：理 解 不 等 式 恒 成 立 与 有
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（） ４ 不等式厂 ） Ｅ， （ ＞ 在 时有解
仁 ） 一 ， ∈Ｉ ， ） 上界 大于ｋ 的 ．
解 的 数学 意义 ．熟 悉 所 学 初 等 函 数 的 图象 和性 质 ；掌 握 求 导 公 式 和 导
不等 式 恒 成 立 与 有 解 是 有 明显 区别 的 ，以 上 充要 条 件 应 细 心 甄 别
不等式恒成立与有解 问题一直是高 中生数学学 习的难点 ， 也是高考的热点 ， 试题大多从函数 、 数列 、 不等式 等 内容交汇处入手 ， 全面考查对概念的理解和思维 的灵活性 、 深刻性 、 创新 性 ， 能体现学生分析与解决 问题 的综
合能力 ．在近年高考中此类问题题型多样 ， 形式灵活 ， 解决的关键是要联系函数的性质和 图象 ， 灵活应用 数学 思 想方法去分析和转化问题． ’