最小二乘问题的代数学基础

现代代数基础复习资料

1 设a ，b 为群G 的元素，设a 为5阶元，且33 a b ba =，证明ab ba =。证明：因为33a b ba =，所以133b a b a -=，所以1326()b a b a -=，即166 b a b a -=。又a 为5阶元，所以5a e =，所以1 b ab a -=，即ab ba =。 2 证明对群G 的非空子集H ，若对所有,x y H ∈，1 xy -也属于H ，证明H 是一个子群。证明：因对,x y H ∈，1xy H -∈，所以11 ,,x H e xx H x xe H --?∈=∈=∈， 1 111 ,,()y H y e y H x y x y H ----?∈=∈=∈，所以H 是G 的子群。 3 证明在任意群G 中，对其任意两个元素a ，b ，ab 与ba 的阶相等。证明：因为()1 ab a ba a -=，故ab 与ba 共轭。设ab n =，若()m ba e =，则1[()]m a ba a e -=，即()|m ab e n m =? 所以||||ab ba n ==。 4 置换群4S 中有多少个2阶元？解：由置换群中每个元素都可表示为不相交的轮换之积，而k 轮换的阶为k 。两不相交轮换的阶为k 轮换的最小公倍数。故二阶元有9个，为：（1 2），（1 3），(1 4), (2 3), （2 4），（3 4），（1 2）（3 4），(1 3)(2 4),（1 4）（2 3）。 5证明群G 的自同构的集合以映射的合成为乘法构成一个群。证明：:AutG G =群的所有自同构的集合，恒等映射,id AutG AutG ∈≠?故由G 上的所有双射显然构成一个群，关于映射的乘法，下证AutG 为其子群（1）AutG 对于映射的合成封闭： ,(),()A u t G a b G a b G στττ?∈?∈?∈，，故()(())(()())(())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ==== 故AutG στ∈。（2）下证1 AutG AutG σσ -?∈?∈ '''''1'1,,,,(),()(),()AutG a b G a b G a a b b a a b b σσσσσ--∈?∈?∈====使即则1 1 ' ' 1 '' 1 '' '' 1 1 ()(()())(())()()()ab a b a b a b a b a b σσσσσσσσσσ------===== 所以1AutG σ -∈。故AutG 关于映射合成的乘法构成一个群。 6 设G 是一个群。证明由()n x x φ=定义的映射:G G φ→是G 到自身的同态。

代数基本定理

[科目] 数学 [关键词] 代数/基本定理/复数/根 [文件] sxbj110.doc [标题] 代数基本定理 [内容] 代数基本定理代数基本定理﹝Fundamental Theorem of Algebra﹞是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。由此推出，一个n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。这个定理的最原始思想是印度数学家婆什迦罗﹝1114-1185？﹞在1150年提出的。他提出了一元二次方程的求根公式，发现了负数作为方程根的可能性，并开始触及方程根的个数，即一元二次方程有两个根。婆什迦罗把此想法称为《丽罗娃提》﹝Lilavati﹞，这个词原意是“美丽”，也是他女儿的名字。 1629年荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》中提出他的猜测，并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。 1637年笛卡儿﹝1596-1650﹞在他的《几何学》的第三卷中提出：一个多少次的方程便有多少个根，包括他不承认的虚根与负根。欧拉在1742年12月15日在给朋友的一封信中明确地提出：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾试过证明此定理，可惜证明并不完全。高斯在1799年给出了第一个实质证明，但仍欠严格。后来他又给出另外三个证明﹝1814-1815，1816，1848-1850﹞，而“代数基本定理”一名亦被认为是高斯提出的。高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域之上，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。

近世代数基础练习题

1.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下,R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环。证明: S 为R 的一个子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , 故S 非空。对,a b ?∈S ,?,a b ∈S ,使得a =()a φ,b =()b φ 由于S 是环R 的子环，故a b S -∈,ab S ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b = ()a φ()b φ=()ab φS ∈ 故S 是R 的一个子环。 2. 证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下, R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环。证明: S 为R 的子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , ∴0∈S ,故S 非空。对?,a b ∈S ，?,a b ∈S ,使得 a =()a φ,b =()b φ, 由于S 是环R 的子环，故 a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b =()a φ()b φ=()ab φS ∈ ∴a b S -∈,ab S ∈ 故S 是R 的一个子环。 3.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的象A 是R 的一个理想。证明: A 为R 的理想,∴ 0A ∈,,而0=(0)φ∈A ,故A 非空。对,a b A ?∈,r R ?∈, ?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的一个理想，故 a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈

∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ ra =()r φ()a φ=()ra A φ∈, ar =()a φ()r φ=()ar A φ∈ 故 A 是环R 的一个理想。 4.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的逆象A 是R 的一个理想。证明: A 为环R 的理想,∴0∈A , 而0=φ(0)∈A , ∴0∈A, 故A 非空。对于?,a b ∈A ，?r R ∈，?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的理想，故 a -b ∈A ，ar A ∈，ra A ∈。 a -b =()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ r a =()r φ()a φ=()ra φ∈A ， ar =()a φ()r φ=()ar φA ∈ ∴a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈, 故 A 是R 的一个理想。

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识初等代数、高等代数与线性代数都称为经典代数(Classical algebra),它的研究对象主要就是代数方程与线性方程组)。近世代数(modern algebra)又称为抽象代数(abstract algebra),它的研究对象就是代数系,所谓代数系,就是由一个集合与定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括:群论、环论与域论等几个方面的理论,其中群论就是基础。下面,我们首先简要回顾一下集合、映射与整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3.1 集合、映射、二元运算与整数 3.1.1 集合集合就是指一些对象的总体,这些对象称为集合的元或元素。“元素a 就是集合A 的元”记作“A x ∈”,反之,“A a ?”表示“x 不就是集合A 的元”。设有两个集合A 与B,若对A 中的任意一个元素a (记作A a ∈?)均有B a ∈,则称A 就是B 的子集,记作B A ?。若B A ?且A B ?,即A 与B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作B A =。若B A ?,但B A ≠,则称A 就是B 的真子集,或称B 真包含A,记作B A ?。不含任何元素的集合叫空集,空集就是任何一个集合的子集。集合的表示方法通常有两种:一种就是直接列出所有的元素,另一种就是规定元素所具有的性质。例如: {}c b a A ,,=; {})(x p x S =,其中)(x p 表示元素x 具有的性质。本文中常用的集合及记号有: 整数集合{}Λ,3,2,1,0±±±=Z ; 非零整数集合{}{}Λ,3,2,10\±±±==* Z Z ; 正整数(自然数)集合{}Λ,3,2,1=+Z ; 有理数集合Q,实数集合R,复数集合C 等。一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。用∞=A 表示A 就是无限集,∞