研究生教学大纲

研究生课程教学大纲

课程编号：00912717

课程名称：拓扑学

英文名称：Topology

学 时：32学时

学 分：2学分

适用学科：信息与计算科学

课程性质：学位课

先修课程：近世代数、集合论

一、课程的性质及教学目标

课程性质：拓扑学是信息与计算科学专业的专业课。拓扑学是数学的基础学科之一，也是数学相关专业的一门重要的基础课。其与分析学、微分几何、动力系统等数学的其它分支有着十分紧密地联系，并且这门学科在物理学、地质学及经济学等其它领域中也有很多应用。通过本门课程的教学，使学生了解和掌握拓扑学的基本内容，为进一步学习其它课程，并为将来从事教学、科研及其它实际工作打好基础。

教学目的：通过本课程的学习，使学生了解和掌握点集拓扑学与代数拓扑学的基本理论和方法，为学习有关后继课程，进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

二、课程的教学内容及基本要求

第一章 拓扑空间与连续性

1、理解与掌握拓扑、开集与闭集、邻域、闭包、内部、内点、子空间这些概念以及它们所具有的性质；理解这些概念在度量空间的相应形式；能了解一些拓扑空间。

2、理解与掌握连续映射的定义与多种等价的定义；理解与掌握连续映射的性质；理解同胚与拓扑不变性。

3、理解与掌握乘积空间与拓扑基的概念及相应的性质。

第二章 几个重要的拓扑性质

1、理解与掌握分离公理1T 、2T 、3T 及4T 公理以及满足分离公理的拓扑空间所具

有的拓扑性质。

2、理解与掌握可数公理1C 公理和2C 公理以及满足可数公理的拓扑空间所具有的拓扑性质。

3、了解Urysohn 引理和Tietze 扩张定理及其应用。

4、理解与掌握紧致空间与紧子集的定义与性质，特别是理解与掌握紧子集与闭子集的关系；理解与掌握紧度量空间的连续映射的性质；理解局部紧空间的定义与性质；理解单点紧致化的定义与性质。

5、理解与掌握连通空间、局部连通空间、道路连通空间与局部道路连通空间的定义与性质。

第三章 商空间与闭曲面

1、了解空间中的几种常见曲面。

2、理解与掌握商空间与商映射的定义及两者之间的关系；了解某些图形经过商映射后得到的商空间的类型。

3、理解与掌握拓扑流形与闭曲面的定义。

4、理解与掌握闭曲面的分类定理内容；了解分类定理的证明过程；会判断给定多边形表示的闭曲面的类型。

第四章 同伦与基本群

1、理解同伦、同伦等价与相对同伦，收缩核、形变收缩核与强形变收缩核的概念；能构造简单映射的同伦。

2、理解定端同伦与道路类的概念；理解道路类乘法的定义与性质；理解与掌握基本群的定义与性质；理解与掌握由连续映射所诱导的基本群之间的同态的定义与性质。

3、掌握计算基本群的一些方法：如利用基本群的同伦不变性，利用乘积空间基本群的直积表示，利用Van-Kampen 定理；了解基本群的几点应用，如证明代数基本定理与2维的Brouwer 不动点定理等。

4、了解几种典型流形的基本群，如S 1、S 2及T 2等；会计算简单流形的基本群。

第五章 复叠空间

1、理解与掌握复叠空间的定义与性质；了解一些最简单拓扑空间的复叠空间的例子。

2、了解同论提升定理与映射提升定理；理解复叠空间的存在性定理与分类定理。

3、理解与掌握复叠变换的定义与性质。

4、了解正则复叠空间与泛复叠空间的定义与性质。

三、课内学时分配

推荐教材：《基础拓扑学讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997.

主要参考书目：

[1] 《点集拓扑讲义》，熊金城，高等教育出版社，1998.

[2] 《拓扑学基础》，林金坤，科学出版社, 2007.

[3] 《拓扑学导论》，鲍里索维奇,勃利兹尼亚科夫，高等教育出版社, 1992.

[4] 《基础拓扑学》，何伯和，吉林大学出版社，2005.

[5] 《点集拓扑学》，徐森林，高等教育出版社，2007.

五、教学与考核方式

教学环节包括：课堂讲授、习题课、课外作业。通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生的自学能力、分析问题解决问题的能力。以教师讲授为主，学生练习为辅。

考核方式：本课程考核方式采用期末考试闭卷笔试形式。

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