一阶电路时域分析

2
电感 L
变量
电流 i
磁链
Li
u L 1 2C q
2
关系式
di dt 1 2 1
WL
Li
2

2
2L
(1) 元件方程是同一类型； (2) 若把 u-i，q- ，C-L， i-u互换,可由电容元件 的方程得到电感元件的方程； (3) C 和 L 称为对偶元件, 、q 等称为对偶元素。
1 C

t t0
id
(4) 表达式前的正、负号与u，i 的参考方向有关。当
u，i为关联方向时，i= C du/dt； u，i为非关联方向时，i= –C du/dt 。
3. 电容的储能
p 吸 ui u C du dt
WC

t
Cu
du d
2
d
1 2 1
u(t )
Cu
i + u _ + u1 _ i1 + L1 u2 _ i2 L2 + un _ in Ln + u _ 等效电感 i Leq
n个电感并联
根据KCL及电感的电压与电流的关系式，有
i ( t ) i1 ( t ) i 2 ( t ) i n ( t )
1 L1
t 0

u ( )d i 1 ( 0 )
二、换路定律
i
+ uC -
uC (t )
1 C 1 C

t

i ( ) d 1 C 1 C
C

0

i ( ) d

t 0

i ( ) d
uC (0 )

t 0

i ( ) d
q =C uC
q(t ) q(0 )


t 0

i ( ) d
2. 过渡过程产生的原因 （1）电路内部含有储能元件 L 、M、 C
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
w t
p
+
uS -
R1 R2
R3
（2）电路结构发生变化
支路接入或断开； 参数变化 换路
3. 稳态分析和暂态分析的区别
稳
态
暂
态
换路发生很长时间后
换路刚刚发生 iL 、 uC 随时间变化 微分方程组描述电路
iL(0+)= iL(0-)
L (0+)= L (0-)
磁链守恒
换路定律成立的条件!!!
三、电路初始值的确定 (1) 由0-电路求 uC(0-)
例1
+ -
+
10V
10k 40k
+
uC
10k 40k 10V S
+
iC
uC
-
uC(0-)=8V (2) 由换路定律
电阻电路1
11.3
动态电路的初始条件
f(t)
一、t = 0+与t = 0-的概念 换路在 t=0时刻进行 00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
t 0 t0
t
0- 0 0+
f ( 0 ) lim f ( t )
f ( 0 ) lim f ( t )
t 0 t 0

初始条件就是 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值。
IL、 UC 不变 代数方程组描述电路
4. 分析方法
激励 u(t)
an d i dt
n n
响应 i(t)
n1
a n1
d
i
dt
n1
a1
di dt
a0i u
t 0
经典法 拉普拉斯变换法
时域分析法 复频域分析法 时域分析法
状态变量法
数值法
返回目录
5.2
动态电路方程的列写

t t0
id
电容的电压-电流关系小结：
(1) i的大小与 u 的变化率成正比，与 u 的大小无关； (2) 当 u 为常数(直流)时，du/dt =0 i=0。电容在
i C du dt
直流电路中相当于开路，电容有隔直作用；
(3) 电容元件是一种记忆元件； u ( t ) u ( t 0 )
1
0

ud
L
1
t 0
ud i(0)
t 0
L
ud
1
ud
i t i ( 0 )
t 0
ud
(0)

电感的电压-电流关系小结：
(1) u的大小与 i 的变化率成正比，与 i 的大小无关； (2) 当 i 为常数(直流)时，di / dt =0 u=0, 电感在直流电路中相当于短路； (3) 电感元件是一种记忆元件； (4) 当 u，i 为关联方向时，u=L di / dt； u，i 为非关联方向时，u= – L di / dt 。
2 u( )

1 2
Cu ( t )
2
1 2
Cu ( )
2
若 u ( ) 0
1 2
Cu ( t )
q (t ) 0
2
无源元件
2C
从t0到 t 电容储能的变化量：
WC 1 2 Cu ( t )
2
1 2
Cu ( t 0 )
2
不消耗能量
4. 电容的串并联 （1）电容的串联
= L1 di dt L2 di dt Ln di dt di dt
等效电感与各电感的关系 式为
L eq L1 L 2 L n
= ( L1 L 2 L n )
= L eq
di dt
结论：n个串联电感的等效电感 值等于各电感值之和。
(2) 电感的并联
+ uR R S L
+
uS
+
uL
Ri
L
L
diL dt
uS
_
iL 0.04H iL (t=0) + R
L diL dt Ri
L
例3
uC
C
d uC dt
2
iL
R d uC L dt 1 LC uC 0
uC
0.01F
d uC dt
2
复习常系数线性常微分方程求解过程。
返回目录
依据：KCL、KVL和元件约束。
uL L iL (t )
iC C
di L dt 1
t
L
duC dt 1
t0
u L dt i L ( t 0 )
uC ( t )
C
t
t0
iC dt uC ( t 0 )
例1 US 例2
S(t=0)
R + uR –
i
C + uC –
RC d uC dt uC U S
二、电容元件 (capacitor)
电容器 + + + + +q 线性定常电容元件 C 电路符号
– – – – –q
电容以电场形式存储能量。 1. 元件特性 i + u – + – C
def
描述电容的两个基本变量: u, q 对于线性电容，有：q =Cu
C
q u
电容 C 的单位：法[拉]， 符号：F (Farad) 常用F，pF等表示。
u L
diL dt

iL
u ( ) d

L
iL 1
L
L

1
t
u ( ) d
u ( ) ) d
L
0
1
t 0


iL ( 0 )
LiL
(0 )

1 L
0 u ( ) d
t

t 0

u ( )d
当u为有限值时
t 0
i ( )d u 1 ( 0 ) 1 C2 1 Cn
1 C2
t

t 0
i ( )d u 2 ( 0 )
1 Cn

t 0
i ( )d u n ( 0 )

) i ( )d
0
u
k 1
n
k
(0)

1 C eq

t 0
i ( )d u ( 0 )
q
库伏（q-u） 特性

0 2. 线性电容的电压、电流关系 i +
i dq dt C
1 C
C tan u
du dt
u
–
+ C –
u(t )

t

id 1 C
1 C

t0
id
1 C

t t0
id
u(t ) u(t0 )

t t0
id
q(t ) q(t0 )
电感以磁场形式存储能量。

韦安（ -i ）特性

0
i
2. 线性电感电压、电流关系：
i + – u e – +
i 1

i , 右螺旋 e , 右螺旋 u , i 关联
由电磁感应定律与楞次定律
e L di dt
u e L
di dt
t 0
L
t

ud
L
L
1
3. 电感的储能
p 吸 ui i L di dt
i(t )
W吸
若 i ( ) 0

t
Li
di d
2
d 1 2L
1 2
Li
2 i ( )

1 2
Li ( t )
2
1 2
Li ( )
2

1 2
Li (t )
(t ) 0
2
无源元件
从t0 到t 电感储能的变化量：
WL 1 2 Li ( t )
2
1 2
Li ( t 0 )
2
不消耗能量
4. 电感的串并联 （1）电感的串联
i L1 L2 Ln + un _ + u _ 等效电感
i
+ u _
+ u1 _ + u2 _
Leq
n个电感串联
根据KVL和电感的电压电流的关系，有
u u1 u 2 u n
等效电容与各电容的 关系式为
C eq C 1 C 2 C n
n
(C 1 C 2 C n ) C eq du dt
C
k 1
k
结论：n个并联电容的等效电容值等于各电容值之和。
电容元件与电感元件的比较：
电容 C 电压 u 电荷 q
q Cu iC WC du dt 1 2 Cu
第11章 一阶电路时域分析
11. 1 电感元件和电容元件 11. 2 动态电路方程的列写 11. 3 动态电路的初始条件 11. 4 一阶动态电路 11. 5 二阶动态电路
11. 6 全响应的分解
11. 7 单位阶跃响应和单位冲激响 应 8 卷积积分 11. 11. 9 状态变量法
11.1

电感元件和电容元件
i + u _
+ q1 _
i1 + C1 q2 _
i2 C2
+ qn _
in Cn
+ u _
+ q _
Ceq
n个电容并联
等效电容
由KCL，有
i i1 i 2 i n
代入各电容的电压、电流关系式，得
i(t ) C1 du dt C2 du dt Cn du dt du dt
三、 动态电路简介 1. 什么是电路的过渡过程 稳态分析 稳定状态
t=0
US S R +
i
S未动作前 C
uC
–
i = 0 , uC = 0
S接通电源后很长时间
i
R US +
uC
–
C
i = 0 , uC =US
i
US S
uC C
初始状态
R
+
US
uC
–
?
0 t1
新稳态
t
过渡状态
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要 经历的过程。 过渡状态（瞬态、暂态）
等效电容与各电容的关系式为
1 C eq 1 C1 1 C2 1 Cn

n
1 Ck
k 1
u(0)
u
k 1
n
k
(0)
结论：n个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值 的倒数之和。 当两个电容串联（n=2）时，等效电容值为
C eq C 1C 2 C1 C2
（2）电容的并联
i
+ u _ C1 C2 Cn i + u1 _ + u2 _
+ un _
+ u _
等效电容
i Ceq
n个电容串联
由KVL，有 u ( t ) u 1 ( t ) u 2 ( t ) u n ( t ) 代入各电容的电压、电流关系式，得
u(t ) 1 C1 ( 1 C1

1 L2

t 0
u ( )d i 2 ( 0 )
1 Ln

t 0
u ( )d i n ( 0 )
(
1 L1

1 L2

1 Ln
) u ( )d i 1 ( 0 ) i 2 ( 0 ) i n ( 0 )
0
t

1 L eq

t 0
u ( )d i ( 0 )
等效电感与各电感的关系式为
1 L eq 1 L1 1 L2 1 Ln
i(0)

n
ik ( 0 )
k 1
结论：n个并联电感的等效电感值 的倒数等于各电感 值倒数之和。 当两个电感并联（n=2）时，等效电感值为
L eq L1 L 2 L1 L 2
0 0

t = 0+时刻
uC (0 ) uC (0 )


C

1

i ( )d
Байду номын сангаас
q( 0 ) q( 0 )


0
0
i ( )d
当i()为有限值时
0
0

uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)
电荷守恒

i ( )d 0
iL
+ u
i + L u
一、电感元件 (inductor) i +– ue –+
–
变量: 电流 i , 磁链
1. 线性定常电感元件
d ef
L

i
= N 为电感线圈的磁链
L 称为自感系数
[ 伏 ][ 秒 ] [安 ]
inductance
L 的单位名称：亨[利] 符号：H (Henry）
亨 (H ) 韦 (W b ) 安 (A ) [ 欧 ][ 秒 ]