稀疏优化算法求解
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稀疏优化算法求解数独
什么是数独
数独（Sudoku，也叫九宫格，如下图）是 一种数字游戏，在格的大九宫格中有9个格 的小九宫格，并提供一定数量的数字。根 据这些数字，利用逻辑和推理，在其它的 空格上填入1到9的数字。每个数字在每个 小九宫格内只能出现一次，每个数字在每 行、每列也只能出现一次。
传统数独求解算法
(1)
其中row，col，box分别表示每行、每列、每 个小九宫格只出现一次数字1-9。
• 实数编码 由于问题（1）也是一个整数规划问题，求解困难， 因此采用一种编码方法，将x放宽到实数域，然后去 除整数约束。
所要的编码方法，将原来的整数编码中的每一个 xij 用 9 个 0-1 之间的实数 xijk （k=1,2，，9）表示
I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 09540 x 191
• 第2个小九宫格：
0927 I99 I99 I99 09270927 I99 I99 I99 0927 0927 I99 I99 I99 09513 x
min 1
rowi ( x) 1, 2, ,9 , coli ( x) 1, 2, ,9 , st. boxi ( x) 1, 2, ,9 , Cluei ( x) Cluei , x 1, 2, ,9 , ij
Aeq x beq .
其中在约束条件中可以让x在实数范围内取 值，而且依照上述所表达的式子中可以知道 此约束是线性的。这时矩阵的行数为324+， 表示已知数独提示的数字数目，而的维数为 729，因此上述方程显然是一个欠定方程组。
• 稀疏优化
Min
x
0
s.t.
Aeq x beq .
xij
xij
191
• 第3个小九宫格：
0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 09486 x
191
• 填充约束条件（每一个格子中的数必须是19之间的数，以第一行第一列的格子为列）
1 10 0 x 1 720 9
1 2 3 4 5
100000000 0.50.500000000 0.50.40.100000000 0.50.30.10.100000000 0.50.20.10.10.100000000
0
已知提示数目34
芬兰数学家设计的世界“最难”数独。
• 作业: 1. 编程得到关于数独求解的线性方程组 2. 将问题1的数独形式推广到任意阶的情形, 如16*16, 25*25等.
I 99 0972 I99 0972 x 191 9
• 第2列可以写为：
099 I99 0963 099 I99 0963 x 191 9
• 小九宫格约束条件（以左上角的小九宫格开 始编号，编号为1，第一行小九宫格从左到右 编号，再到第二行小九宫格，再到第三行小 九宫格，右下角的小九宫格编号为9）
xij I ( xij k ),
xij k ( xijk max( xijk )).
k
（2） （3）
上述式中 I（ ）是指示函数，等式成立时为 1，不成立是为 0.
图2 实数编码
• 约束条件 依据上述的实数编码方法去除整数约束，同 时转换成为一个线性方程组。下面我们分别 描述行、列等所要满足的约束条件。
关于数独的求解方法有暴力破解法、约束规划、 比较排除法等，比较排除法是一系列直观的求解方 法。（能否更加具体点说明比较排除法）暴力破解 （Brute-Force）法，缺陷就是需要大量的时间和 内存；而约束规划是通过设置一个目标函数与约束 函数，采用分支定界法求解，由于它本质上为一个 NP-C问题，所以需要的时间较多，而且对初值的 选取很敏感，相对约束规划求解方法的一种改进方 法是采用随机搜索或智能优化，随机生成解，然后 计算误差，通过不断迭代使得误差为0，这种方法 比前面的稍快，但同样需要大量的时间，而且性能 不稳定。
• 提示数字约束条件 依据已经给出的提出数字可以得出相应的约 束条件： 第1行，第3列的提示数字8：
0 0 000000010 0 0 x 1 702 18
• 第1行，第4列的提示数字3：
0 0 0010 0 x 1 699 27
• 百度文库约束条件 第1行可以写为：
I 99 I 99 I99 09648 x 191 9
第2行可以写为：
0981 I99 I99 I99 09567 x 191 9
• 列约束条件 第1列可以写为：
基于稀疏优化算法的数独求解
基本思想是通过将数独的填字数字1-9映射 为只含有0和1的向量，对数独所要满足的 求解条件，建立相应的线性方程。这时， 数独的求解问题就转化为求解线性方程的 最大稀疏解问题，即所谓的0-范数问题。0范数问题由于近年来压缩感知理论的盛行， 得到极大的关注。
• 基本思想和原理 给出一个数独，假设解为x，则依据数独的约 束条件可得一约束规划问题：
则第 i 行，第 j 列的提示数字 n（ i, j , n 1, 2, ,9 ） ： 设 m=81(i-1)+9(j-1)+n-1
0 010 0 x 1 720 m m
• 因此所有的约束条件转换成一个线性方程组 简单的可以表示为：
什么是数独
数独（Sudoku，也叫九宫格，如下图）是 一种数字游戏，在格的大九宫格中有9个格 的小九宫格，并提供一定数量的数字。根 据这些数字，利用逻辑和推理，在其它的 空格上填入1到9的数字。每个数字在每个 小九宫格内只能出现一次，每个数字在每 行、每列也只能出现一次。
传统数独求解算法
(1)
其中row，col，box分别表示每行、每列、每 个小九宫格只出现一次数字1-9。
• 实数编码 由于问题（1）也是一个整数规划问题，求解困难， 因此采用一种编码方法，将x放宽到实数域，然后去 除整数约束。
所要的编码方法，将原来的整数编码中的每一个 xij 用 9 个 0-1 之间的实数 xijk （k=1,2，，9）表示
I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 09540 x 191
• 第2个小九宫格：
0927 I99 I99 I99 09270927 I99 I99 I99 0927 0927 I99 I99 I99 09513 x
min 1
rowi ( x) 1, 2, ,9 , coli ( x) 1, 2, ,9 , st. boxi ( x) 1, 2, ,9 , Cluei ( x) Cluei , x 1, 2, ,9 , ij
Aeq x beq .
其中在约束条件中可以让x在实数范围内取 值，而且依照上述所表达的式子中可以知道 此约束是线性的。这时矩阵的行数为324+， 表示已知数独提示的数字数目，而的维数为 729，因此上述方程显然是一个欠定方程组。
• 稀疏优化
Min
x
0
s.t.
Aeq x beq .
xij
xij
191
• 第3个小九宫格：
0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 0954 I99 I99 I99 09486 x
191
• 填充约束条件（每一个格子中的数必须是19之间的数，以第一行第一列的格子为列）
1 10 0 x 1 720 9
1 2 3 4 5
100000000 0.50.500000000 0.50.40.100000000 0.50.30.10.100000000 0.50.20.10.10.100000000
0
已知提示数目34
芬兰数学家设计的世界“最难”数独。
• 作业: 1. 编程得到关于数独求解的线性方程组 2. 将问题1的数独形式推广到任意阶的情形, 如16*16, 25*25等.
I 99 0972 I99 0972 x 191 9
• 第2列可以写为：
099 I99 0963 099 I99 0963 x 191 9
• 小九宫格约束条件（以左上角的小九宫格开 始编号，编号为1，第一行小九宫格从左到右 编号，再到第二行小九宫格，再到第三行小 九宫格，右下角的小九宫格编号为9）
xij I ( xij k ),
xij k ( xijk max( xijk )).
k
（2） （3）
上述式中 I（ ）是指示函数，等式成立时为 1，不成立是为 0.
图2 实数编码
• 约束条件 依据上述的实数编码方法去除整数约束，同 时转换成为一个线性方程组。下面我们分别 描述行、列等所要满足的约束条件。
关于数独的求解方法有暴力破解法、约束规划、 比较排除法等，比较排除法是一系列直观的求解方 法。（能否更加具体点说明比较排除法）暴力破解 （Brute-Force）法，缺陷就是需要大量的时间和 内存；而约束规划是通过设置一个目标函数与约束 函数，采用分支定界法求解，由于它本质上为一个 NP-C问题，所以需要的时间较多，而且对初值的 选取很敏感，相对约束规划求解方法的一种改进方 法是采用随机搜索或智能优化，随机生成解，然后 计算误差，通过不断迭代使得误差为0，这种方法 比前面的稍快，但同样需要大量的时间，而且性能 不稳定。
• 提示数字约束条件 依据已经给出的提出数字可以得出相应的约 束条件： 第1行，第3列的提示数字8：
0 0 000000010 0 0 x 1 702 18
• 第1行，第4列的提示数字3：
0 0 0010 0 x 1 699 27
• 百度文库约束条件 第1行可以写为：
I 99 I 99 I99 09648 x 191 9
第2行可以写为：
0981 I99 I99 I99 09567 x 191 9
• 列约束条件 第1列可以写为：
基于稀疏优化算法的数独求解
基本思想是通过将数独的填字数字1-9映射 为只含有0和1的向量，对数独所要满足的 求解条件，建立相应的线性方程。这时， 数独的求解问题就转化为求解线性方程的 最大稀疏解问题，即所谓的0-范数问题。0范数问题由于近年来压缩感知理论的盛行， 得到极大的关注。
• 基本思想和原理 给出一个数独，假设解为x，则依据数独的约 束条件可得一约束规划问题：
则第 i 行，第 j 列的提示数字 n（ i, j , n 1, 2, ,9 ） ： 设 m=81(i-1)+9(j-1)+n-1
0 010 0 x 1 720 m m
• 因此所有的约束条件转换成一个线性方程组 简单的可以表示为：