5.2-2常用公式与常见凑微分形式
常用公式与常见凑微分形式
第五章不定积分第2节换元积分法
主讲韩华
常用公式与常见凑微分形式
一、常用公式（1）及推导
例5求??.cot tan xdx xdx 和.
cos ln )(cos cos 1
cos sin tan c x x d x dx
x x
xdx +-=-==???解
.
sin ln )(sin sin 1sin cos cot c x x d x
dx
x x
xdx +===???c
x xdx c x xdx +=+-=??sin ln cot cos ln tan
例6求.1
2
2dx x a ?+解dx x a ?+2
21dx a
x a
?+=22
211
1
??? ????
? ??+=?a x d a x a
2111.arctan 1
C a x a
+=c a
dx x a a x
+=+?arctan 112
2
例7求2
2
1.(0)
dx a a x
>-?解
221
arcsin x
dx C a a x
=+-?
.arcsin 11
1111
22
2
2c a x a x d a x dx
a x a dx x a +=???
????
?
??-=??? ??-=-?
??
例8求.1
2
2dx x
a ?-解
c
x a x a a dx x a +-+=-?ln 21122()()().ln 21ln ln 2111211121122c x
a x
a a c x a x a a x a d x a x a d x a a dx x a x a a dx x a +-+=+++--=??????+???
??++-??? ??--=??
?
??++-=-????
常用公式与常见凑微分形式
二、常用公式（2）及推导
例9求解（一）?=dx x
sin 1
.
csc ?
xdx ?xdx csc ?=dx x x 2
cos
2sin 21
????
???
?
? ??=22cos 2tan 1
2x d x x ??
?? ??
=2tan 2
tan 1
x d x C
x +=2
tan ln .
cot csc ln C x x +-=csc ln csc cot xdx x x c =-+?
解（二）?=dx
x
sin 1
?xdx csc ?+=dx x x x x 2
cos
2sin 22cos 2sin 22
1(tan cot )222x x dx =+?
sin cos 122(
)2cos sin 22
x x
dx x x
=+?lncos lnsin 22
x x
c
=-++C
x
+=2
tan ln .
cot csc ln C x x +-=
解（三）?=dx x sin 1
?xdx csc ?
=dx x
x 2
sin sin ?--=)(cos cos 11
2
x d x
x u cos =?--=du u
2
11
???? ??++--=du u u 111121C u u
++-=11ln 21.cos 1cos 1ln
21C x
x ++-=类似地可推出
?
++=C x x xdx tan sec ln sec
常用公式与常见凑微分形式
三、常见凑微分形式
利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成中间变量的微分，常见的有：
()
()
)cot ()(arctan 11
)
(arccos )(arcsin 11
)
(cot csc )(tan sec )(cos sin )(sin cos )
(ln 1)()(ln 1
121
1
2
2221
x arc d x d dx x
x d x d dx x x d xdx x d xdx x d xdx x d xdx a d a
dx a e d dx e x d dx x
x d n dx x x d dx x b ax d a
dx x x
x x n
n -==+-==--==-=======+=-
例10. 求.
d 3x x
e
x
?
解:原式=x e
x d 23
?)
3d(3
23x e x
?=C
e x
+=33
2例11.求.
d sec 6
x x ?解:原式=x d x 2
22sec )1(tan ?+?x tan d
x
x x tan d )1tan 2(tan 2
4
?++=x 5tan 5
1=x
3tan 3
2+x tan +C +
例12.求.1d ?+x
e x
解法1
x e
e
e x
x
x d 1)1(?+-+=x d ?=?++-x x e e 1)1(d x =C
e x
++-)1ln(解法2
x e e x x d 1?--+=?--++-=x
x
e
e 1)1(d C
e x
++-=-)1ln()]1(ln[)1ln(+-=+---x
x x e e e 两法结果一样
谢谢
THANK YOU
微分中值定理
微分中值定理 班级： 姓名： 学号：
摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使
()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：
微分积分公式全集
x 高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 二 _ 、 重要公式（1） sin x lim 1 1 (2) lim 1 x 匸 e (3) lim : a(a o) 1 x 0 x x 0 n (4) lim n n 1 (5) limarctan x — (6) lim arc tan x — n x 2 x 2 (7) limarccot x x 0 (8) lim arccot x x (9) lim e x 0 x (10) lim e x x (11) lim x x 1 x 0 三、 下列常用等价无穷小关系 (x 0) 四、 导数的四则运算法则 五、 基本导数公式 ⑴c 0 ⑵x ⑷ cosx sinx （5） tan x (7) secx secx tan x ⑻ cscx cscx cotx 1 x (3) sin x cosx 2 sec x ⑹ cot x 2 csc x ⑼e x ⑽ a x a x lna 1 (11) In x n n 1 j a o x a 1x a n i m - m 1 b o x b ^x 1 b m a 。 b o （系数不为0的情况） lim x 0 n m
1 1 (12) loga x (13) arcsinx (14) arccosx xln a 1 (15) arcta nx 2 1 x arccot x (17) 1 (18) 1 2 「 x 六、高阶导数的运算法则 (1) u x V x (2) cu cu n (3) u ax b ax (4) k c n u (k) 七、基本初等函数的 n 阶导数公式 (1) (2) ax e ax e x n ln a sin ax n . a sin ax cos ax n a cos ax ax b n i n a n! n 1 ax b In ax n ax b 八、 微分公式与微分运算法则 x 1dx (3) d sin x cosxdx cosx sin xdx ⑸ d tanx sec xdx (6) d cot x csc 2 xdx
几个微分中值定理之异同——从罗尔定理到泰勒定理
几个微分中值定理之异同——从罗尔定理到泰勒定理 作者：闵兰， 陈晓敏， MIN Lan， CHENG Xiao-min 作者单位：闵兰,MIN Lan(成都理工大学,信息管理学院,成都,610059)， 陈晓敏,CHENG Xiao-min(成都电子机械高等专科学校,信息与计算科学系,成都,610031) 刊名： 西南师范大学学报（自然科学版） 英文刊名：JOURNAL OF SOUTHWEST CHINA NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2009,34(6) 被引用次数：2次 参考文献(10条) 1.马杰高等数学教材辅导 2005 2.北京大学数学系数学分析 1987 3.魏贵民微积分(上) 2004 4.Sun Jiayong Calculus with Related Topics 1988 5.李心灿高等数学应用205例 1997 6.电子科技大学应用数学系一元微积分与微分方程 1997 7.同济大学数学教研室高等数学 1996 8.韩云瑞微积分教程 1998 9.陈传璋数学分析 1978 10.费定晖;周学圣数学分析习题集题解(二) 1999 本文读者也读过(8条) 1.丁殿坤.邹玉梅.DING Dian-kun.ZOU Yu-mei微分中值定理与Newton-Leibniz公式可互相证明[期刊论文]-大学数学2005,21(4) 2.刘龙章.戴立辉.杨志辉.LIU Long-zhang.DAI Li-hui.YANG Zhi-hui再论微分中值定理"中间点"ξ的性质[期刊论文]-大学数学2007,23(4) 3.严于鲜微分中值定理的一种统一证明方法[期刊论文]-中国民航飞行学院学报2007,18(2) 4.倪培溉.尚洁.NI Pei-gai.SHANG Jie推广形式的Lagrange微分中值定理及其应用[期刊论文]-大学数学 2008,24(5) 5.甘小冰.陈之兵.GAN Xiao-bing.CHEN Zhi-bing CAUCHY微分中值定理的推广[期刊论文]-数学的实践与认识2005,35(5) 6.张生智.李跃武.ZHANG Sheng-zhi.LI Yue-wu柯西与微分中值定理[期刊论文]-西北大学学报（自然科学版）2010,40(6) 7.韩应华.姚贵平.王振寰.马文斌.HAN Ying-hua.YAO Gui-ping.WANG Zhen-huan.MA Wen-bin微分中值定理的推广及应用[期刊论文]-内蒙古农业大学学报（自然科学版）2009,30(3) 8.吴从炘关于微分中值定理的一点思考[期刊论文]-高等数学研究2004,7(5) 引证文献(2条) 1.张晓彦Rolle定理的推广及应用[期刊论文]-榆林学院学报 2011(2) 2.王小利.张国洪高等数学教学效果影响因素之实证研究[期刊论文]-西南大学学报（自然科学版） 2011(4) 本文链接：https://www.360docs.net/doc/e65918881.html,/Periodical_xnsfdxxb200906038.aspx
微分中值定理历史与发展
微分中值定理历史与发展 卢玉峰 (大连理工大学应用数学系, 大连, 116024) 微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值 定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ， 曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度， 存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度. 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在 几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的 底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部
最新导数公式、微分公式和积分公式
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基本三角函数公式 导数公式微分公式 积分公式 其他积分公式 C a x x a x x C a x a x a x dx x a + ± + = ± + + - = - ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln d arctan 2 2 () C x x e x x e C x x e x x e C a x x a x x x a x x x x x + + = + - = + ± + + ± = ± ? ? ? ) cos (sin 2 1 d cos cos sin 2 1 d sin ln 2 d2 2 2 2 2 2
青岛市高三统一质量检测 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i 是虚数单位，复数 i i +12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 2. 设全集R U =，集合{} 2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()U N M = A ．{}|21x x -≤< B ．{}|01x x <≤ C ．{}|11x x -≤≤ D ．{}|1x x < 3. 下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．)22sin(π - =x y B. )2 2cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D ．)2cos(π +=x y 4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==,则9S = A ．90 B ．54 C ．54- D ．72- 5. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α?,则l α⊥ B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα// C ．若n m m ⊥⊥,α，则α//n D ．若α⊥n n m ,//，则α⊥m 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是 A ．16π B ．14π C ．12π D ．8π 7. 已知抛物线x y 42 =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物 线上一点，且在第一象限，l PA ⊥，垂足为A ，4PF =，则直线AF 的倾斜角等于 正视图 俯视图 左视图
常用微分公式
(1)dx dx =nx n -1 ，n ∈N 。 (2)d x dx n x n N n n =∈-11 1,。 (3)dc dx =0，其中c 为常数。(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x 另一种表示：① (x n )/=nx n -1 ② /)(n x =1n 1 1-x ③ (c )/=0 证明： (2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点， 则f /(a )=a x →lim f (x )-f (a ) x -a =a x →lim a x a x n n --=a x →lim ] )(....)())[((121---++?+--n n n n n n n n n n n a a x x a x a x =1) (1-n n a n =1n (n a -1)=1n (1 1-a ) (4)设a 为任意实数，f (x )=sin x f (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a = a x a x a x -+-2cos 2sin 2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim ( a x a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。 (1)(3)(5)自证 (1)f (x )与g (x )为可微分的函数。?f (x )+g (x )为可微分的函数。 且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ d dx (g (x ))成立。 另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x ) 证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点 h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+) ()()()( =a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a ) =f /(a )+g /(a ) 例：求=+)(35x x dx d ？ 推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dx x df dx x df dx x df n )() ()(21+???++
微分中值定理论文
引言 通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。 中值定理的内容及联系 基本内容[4][5] 对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 Lagrange 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()() =f b f a f b a ξ-'- Cauchy 定理 设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点 (),a b ξ∈，使得 ()()()()()() f b f a f g b g a g ξξ'-='-。 三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的()()f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日
微分中值定理及应用综述
微分中值定理及应用综述 谢娟 09211045 江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116 摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 关键词：微分中值定理；关系；应用 引言 微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛. 1 浅谈微分中值定理 1.1 微分中值定理的基本内容 微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下: 1.1.1 罗尔定理 如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导; ( 3) 在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =, 那么在区间(),a b 内至少有一 点ε()a b ε<< , 使函数()y f x =在该点的导数等于零, 即 ()/0f ε= 几何分析 在（图1） 中可见()y f x =曲线在[],a b 上是一条连续光滑的曲线, 曲线()y f x =在 (),a b 内处处有切线且没有垂直于x 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在 平面几何中成立), 因而在(),a b 内曲线()y f x =至少有一点处的切线平行于x 轴(罗尔定理的结论成立,/ ()0f x =).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。对于我们理解和掌握罗尔定理大有帮助.
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
浅谈几个微分中值定理的之间联系1
浅谈几个微分中值定理的之间联系 摘 要：了解几个微分中值定理，及他们之间的联系；掌握这几个中值定理的推导过程，能够熟练的辨别他们区别。 关键词：微分；中值定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；联系 Abstract: Find several differential mid-value theorem, and the contact between them; Master this several mean value theorem in the derivation process, can skilled distinguish their differences. Key words: Differential; Mean value theorem in; Luol theorem; Lagrange's mean value theorem; Cauchy mid-value theorem; contact 一、几个微分中值定理 1、罗尔（Rolle ）中值定理 若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[],a b 上连续； （ii ）f 在开区间(),a b 内可导； （iii ）()()f a f b =， 则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'= 2、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 若函数?满足如下条件： （i ）f 在闭区间[],a b 上连续； （ii ）f 在开区间(),a b 内可导； （iii ）()()f a f b =， 则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得
()()()f b f a f b a ξ-'= -. 3、柯西中值定理 设函数f 和g 满足 （i ）在闭区间[],a b 上都连续； （ii ）在开区间(),a b 内都可导； （iii ）()f x '和()g x '不同时为零； （iv ）()()g a g b ≠， 则存在ξ∈(),a b ，使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 二、微分中值定理之间的联系 1.拉格朗日中值定理与罗尔定理 ()()()f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别的当()()f a f b =时，拉格朗日定理结论即为罗尔定理结论。这表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。 证：做辅助函数 ()F x =()()()()()f b f a f x f a x a b a -----. 显然，()()()0F a F b ==，且F 在[],a b 上满足罗尔定理的两个条件。故存在(),a b ξ∈，使 ()()()()0f b f a F f b a ξξ-''=-=-， 移项后即得到所要证明的式。 2.柯西中值定理与罗尔定理 作辅助函数
(完整word版)证明微积分基本公式
定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明：
导数基本常用公式及微分法则
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) x x e e =')( (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? （反函数） 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = （复合函数） 设 )(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数dx du du dy dx dy ? =或)()(x u f y ?'?'='。
一元函数微分公式
【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二 一元函数积分的计算（一） 一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分． 对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。 由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。 借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。 牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。 一、定积分的变量替换法 定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：
(1)Ф’(t)在[α,β]上连续； (2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b， 则（1） 注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。 (2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。 (3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。相应于第二换元积分法就是公式(1)中左端的x换成右端的t；相应于第一换元积分法(凑微分法)就是把右端的t换成左端的x。 几种常用的凑微分形式： （1） （2） （3） （4） （5）
常用微积分公式大全
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为， 故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解：
微分积分公式大全
高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、001011 01lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞ ?=??+++?=??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0 sin lim 1x x x →= （2）()1 lim 1x x x e →+= （3 ）lim )1n a o →∞ >= （4 ）lim 1n →∞ = （5）lim arctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x +→= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x t a n x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()u v u v u v '''=+ 2 u u v u v v v '''-?? = ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿() 1log ln x a x a ' = ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=-
微积分基本公式
微积分公式 D x sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec 2 x cot x = -csc 2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x ? sin x dx = -cos x + C ? cos x dx = sin x + C ? tan x dx = ln |sec x | + C ? cot x dx = ln |sin x | + C ? sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ? csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = π - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = π - cot -1 x sec -1(-x) = π - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x D x sin -1 (a x )=221a x - cos -1 (a x )=221a x -- tan -1 (a x )=22a a x + cot -1 (a x )=22 a a x -+ sec -1 (a x )= 2 2 a x x a - csc -1 ( a x )=2 2 a x x a -- ? sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C ? cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C ? tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C ? cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C ? sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C ? csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh -1 (a x )= ln (x+22x a +) x ∈R cosh -1 (a x )=ln (x+22a x -) x ≧1 tanh -1 (a x )=a 21ln (x a x a -+) |x| <1 coth -1 (a x )=a 21ln (a x a x -+) |x| >1 sech -1 (a x )=ln(x 1-+2 2 1x x -)0≦x ≦1 csch -1 (a x )=ln(x 1+2 2 1x x +) |x| >0 D x sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech 2 x coth x = -csch 2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x ? sinh x dx = cosh x + C ? cosh x dx = sinh x + C ? tanh x dx = ln | cosh x |+ C ? coth x dx = ln | sinh x | + C ? sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C ? csch x dx = 2 ln |x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u ? d uv = uv = ? u d v + ? v d u →? u d v = uv - ? v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ
微积分常用公式
1.常用等价无穷小 当时 2.常用极限 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 若Xn（n=1,2…）收敛,则算数平均值的序列也收敛，且 30. 若序列Xn(n=1,2…)收敛，且Xn>0,则
31. 若Xn>0(n=1,2…)且存在，则 32. 若整序变量,并且——至少是从某一项开始——在n增大时Yn亦增大，Yn+1>Yn，则 3.常用公式及不等式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 伯努利不等式 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 组合数公式 排列数公式 19. 20. 21. 4.常用符号 1.记号n!!表示自然数的连乘积，这些自然数不超过n，并且每两个数之间差 2. 例：
5.微分学基本公式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 6.不定积分表 1. 2. 3. 4. . 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16 17. 18. 19. 20. 21. 22.
22. 7.三角学公式 1.基本关系 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2.两角和与差的三角函数公式 1. 2. 3. 4. 3.倍角公式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 4.半角公式 1. 2. 3. 4. 5.和差化积公式 1. 2. 3. 4. 5.
常用微分公式
§1-3 微分公式 (甲)基本函数的微分公式 (1)dx n dx =nx n 1，n N 。 (2)。 (3)dc dx =0，其中c 为常数。(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/= sin x 另一种表示： (x n )/ =nx n 1 / )(n x =1 n 11-n x (c )/=0 证明： (2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点， 则f /(a )=a x →lim f (x )f (a ) x a =a x →lim a x a x n n --=a x →lim ])(....)())[((121---++?+--n n n n n n n n n n n a a x x a x a x =1) (1-n n a n =1n (n n a -1)=1n (1 1-n a ) (4)设a 为任意实数，f (x )=sin x f (x )f (a )x a = sin x sin a x a = a x a x a x -+-2cos 2sin 2 计算f /(a )= a x →lim f (x )f (a )x a =a x →lim ( a x a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。 (1)(3)(5)自证 (乙)导数的四则运算 (1)f (x )与g (x )为可微分的函数。f (x )+g (x )为可微分的函数。 且 d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ d dx (g (x ))成立。 另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x ) 证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点 h / (a )=a x →lim h (x )h (a )x a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+)()()()( =a x →lim (f (x )f (a )x a + g (x )g (a )x a )=a x →lim (f (x )f (a )x a )+a x →lim (g (x )g (a ) x a ) =f /(a )+g /(a ) 例：求 =+)(3 5x x dx d ？