工程力学(扭转).

gr
C df C D
r O D
r
即得变形几何条件为：
g rd / dx
--(1)
dx
剪应变g的大小与半径 r成正比。与单位扭转 角df /dx成正比。
16
2. 物理关系— 材料的应力-应变关系
材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。 在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：
t Gg
--(2)
t
G G 11 O
ts
G是tg曲线的斜率，如图， 称为剪切弹性模量。
半径为r处的剪应力则为：
g
d t r Gg r Gr dx
圆轴扭转时 无正应力
17
讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
t max
tr
A B g r
r o
MT
r
d --(3) t r Gg r Gr dx
r 圆轴几何及MT给定，df/dx为 常数；G是材料常数。 截面上任一点的剪应力与该点 到轴心的距离r成正比； 剪应变在ABCD面内，故剪应 力与半径垂直，指向由截面扭 矩方向确定。
2.18 A D
AD段
最大扭矩在AB段，且
T图
1.64 3.28
T 3280 N m
11
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
简捷画法：
M A 5460 N m M B M C 1640 N m M D 2180 N m
+ 向 按右手法确定
T图
T /kN.m C B A 1.64 3.28 2.18 D
第九章 圆轴的扭转
9.1 扭转的概念与实例 9.2 扭矩、扭矩图 9.3 圆轴扭转时的应力与变形 9.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件
1
工程构件分类:
杆
板
y
块体
x z
杆的基本变形:
轴向拉压
扭
转
弯 曲
2
9.1 扭转的概念与实例
传动轴
汽车转向轴
3
9.1 扭转的概念与实例
研究对象： 圆截面直杆 受力特点： 作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且 满足平衡方程:
变形后
刚性平面假设： 变形前后，扭转圆轴各 个横截面仍然保持为平 面，二平面间距离不变 ，其半径仍然保持为直 线且半径大小不变。14 矩形变成菱形
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性 转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。
T
A
g g
C
r
df O C D df r D
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
M A 5.46kN m M B M C 1.64kN m M D 2.18kN m
MB
B
T1
T3 MC
C
MD
D
求各截面内力：
BC段 CA段
MB
B
T1 1.64kN m
T2 3.28kN m
T3 2.18kN m
T2
T /kN.m C B
2kN 8kN
T图
10kN m 10kN m
5kN
o A
5kN
2kN
8kN
B 20kN m + 向 按右手法确定
20
C
x
5kN
+向
5kN
T / kN m
+
3kN
10
C B 在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。 9
FN 图
-
5kN
A
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。
T 10kN m
10kN m 10kN m
o A
T / kN m
10
B
20kN m
20
C
x
BC段： T
TAB
A
TBC 20kN m
B
C
20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂 直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。 8
简捷画法：
FN图（轴力）
18
gr
C t r df C O DT D
最大剪应力在圆轴 dx 表面处。
3. 力的平衡关系
d --(3) t r Gg r Gr dx
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截 面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
12
讨论：试作扭矩图
o A x
M A 40kN.m 10kN.m 10kN.m
o x B C D
40kN.m 10 kN.m 20kN.m A 10kN.m
求反力偶： M A 20kN m
+ 向 按右手法确定
C D B + 向 按右手法确定
20
T / kN m
10 A B
T / kN m
g是微元的直角改变量，即 半径r各处的剪应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有：
g rd / dx
df /dx ,称为单位扭转角。 对半径为r的其它各处，可 作类似的分析。 15
B
dx
1. 变形几何条件
对半径为r的其它各处， 作类似的分析。 同样有： CC= gdx=rdf
T
A B g r
T 图
C 20 D A
20
T图
C
10
B 20
D
13
9.3 圆轴扭转时的应力与变形
变形体静力学的基本研究思路：
静力平衡条件 8.3.1
+ 变形几何条件 + 材料物理关系
圆周线相对旋转了一个角 度，形状、尺寸、相邻圆 周线之间的距离无变化
纵向线仍近似直线， 只是倾斜了一个微小 角度
1. 变形几何条件
变形前
fAB x M0
y
z
变形前
M0
变形后
SMx=0
变形特征：相对扭转角 fAB
圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
4
Fra Baidu bibliotek
9.2 扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0 T 内力偶 平衡
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶
T M0
5
M0
M0 T
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶 平衡
T 取右边部分
扭矩
M0
T M0 T
T 和T 是同一截面上的内力， T 应当有相同的大小和正负。
扭矩
平衡
外力偶
6
扭矩的符号规定：
T
M0
正
M0 T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
7
画扭矩图：
AB段： 10kN m
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
PA 400 M A 9.55 9.55 5.46kN m n 700 PB 120 M B M C 9.55 9.55 1.64kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m 10 n 700