套利定价模型(APT)
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可以实现13.215万的净收益，相当于0.881%.
0.1 0.16 0.083 0.2 0.183 0.13 0.881%
套利定价模型（APT）的推导
若套利机会存在，投资者通过买入收 益率偏高的证券同时卖出收益率偏低的证 券来实现套利，其结果是使收益率偏高的 证券价格上升，则收益率将相应下降；同 时使收益率偏低的证券价格下降，其收益 率将相应上升。这一过程将一直持续到各 种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏 感度保持适当的关系为止。
3.期望收益率取决于资产对风险 因素的敏感性
因素模型告诉我们，资产的期望收益率 可以通过若干风险因素来解释。因素的未来 不确定性使得资产的收益不定。因素的不确 定性越大，投资者对该因素要求的风险报酬 率越高，否则，没有足够高的预期收益，投 资者会远离该资产，造成该资产需求下降， 价格随之下降，同时，预期收益提高，直至 出现平衡。
r1
0
1b1
0
L x2
r2
0
1b2
0
L xn
rn
0
1bn
0
L
0
x1
x2
x3
xn
0
L
1
b1x1
b2 x2
b2 x3
bn xn
0
可得到：
ri 0 1bi ;此即为单因素模型APT定价公式，其中0，1是常数。
ri
a
bi F
i ,证券i的方差为风险
)
bi2F（2 因素风险） （2i 非因素风险）
2.双因素模型（ 所有资产 的收益受两个因素影响）
ri a bi1F1 bi2F2 i
3.多因素模型（ 所有资产 的收益受多个因素影响）
ri a bi1F1 bi2F2 bi3F3 bik Fk i
x1 x2 x3 xn 0 其中xi表示投资者持有i证券的金额比例
2.套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风险
单因素模型如下：
b1x1 b2 x2 b2 x3 bn xn 0 而在双因素模型下，条件2的表达式为： b11x1 b12 x2 b13x3 b1n xn 0 b21x1 b22 x2 b23 x3 b2n xn 0 多因素模型以此类推。
谢谢！
套利定价模型的意义
1.套利机制是实现金融市场均衡的重要机制
CAPM——理性预期均衡机制
大部分甚至全部投资者具有相同预期，并以此预期 买卖资产，推动均衡价格的形成 APT ——套利机制
部分投资者可以识别并利用套利机会，以此买卖资 产，推动均衡价格的形成
2.“一价定律”与套利交易密切相 关
“一价定律”指出，如果两种资产在所 有经济意义的相关方面都相等，则它们的市 场价格相等。市场违背“一价定律”是触发 套利交易的必要条件，也就是说，如果发生 了套利交易，市场上一定有违背“一价定律” 的情况存在，而市场违背“一价定律”不是 触发套利交易的充分条件。
套利定价模型（APT）
—另外一种阐述资产价格形成的逻辑
王志方 zhifang925@
套利定价理论的诞生
1976年，罗斯提出套利定价理论（APT）。
该理论认为各种证券的收益率受 某个或者某几 个因素 的影响，各种证券收益率之所以相关，
是因为它们都会对这些共同的因素起反应。 同CAPM一样，它预测了（或者说推导出）
3.套利组合的预期收益率应大于零
x1r1 x2r2 x3r3 xnrn 0
例：
某投资者拥有一个3种股票组成的投资组合，3种股票的 市值均为500万，投资组合的总价值为1500万元。假定 这3种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为 16%，20%，13%，其对该因素的敏感度分别为0.9， 3.1和1.9.请问该投资者能否修改其投资组合，以便在不 增加风险的情况下提高收益率
应用价值
这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时
不管如何，拿到APT才是关键
多因素模型的定价公式
因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度
因素敏感度
rit rf （rp1t rf）bi1t （rp2t rf）bi2t （rp3t rf）bi3t （rpkt rf）bikt
易行为对证券价格不发生影响。 • 没有交易成本。
APT不要求成立的假设条件
• 单一投资期 • 不存在税的问题 • 投资者能以无风险利率自由地借入和贷出
资金
• 投资者以回报率的均值和方差选择投资组 合
主要内容
一 套利与“一价定律” 二 套利如何实现
套利组合的构建
三 套利定价模型的实现
1.单因素模型（ 所有资产 的收益受某一因素影响）
MaxL x1r1 x2r2 x3r3 xnrn 0 (x1 x2 x3 xn ) 1(b1x1 b2 x2 b2 x3 bn xn )
L取最大值的一价条件：分别对xi和求偏导，令其为0
L x1
因素1风险报酬 因素2风险报酬 因素3风险报酬
因素k风险报酬
多因素模型的定价公式=多元回归
预测收益率
rit rf a0rit 1 （rp1t rf）bi1t （rp1t1 rf）bi1t1 （rp2t rf）bi2t （rp2t1 rf）bi2t1 （rp3t rf）bi3t （rp3t1 rf）bi3t1 （rpkt rf）bikt （rpkt1 rf）bikt1
与风险预期收益相关的证券市场线。二者不同之 处在于：CAPM建立在均值—方差基础之上，而 APT建立在“一价定律”之上。
APT相对于CAPM更优越的地方还在于其较 少的假设条件：
APT与CAPM共同的假设条件
• 投资者有相同的投资理念，存在着大量投 资者
• 投资者追求效用最大化 • 投资者是价格的接受者，单个投资者的交
一价定律
一般来讲，一价定律包括两个：
商品市场中的一价定律：就商品的价格来看 金融市场中的一价定律：就金融资产的价格—收益率来看
即相同资产具有同一价格（同一有效价格？）
市场违背一价定律，套利机会就可能出现， 而套利的实施效果就是套利机会的消失，一价定 律的成立。
套利组合的构建
根据套利的定义，套利组合要满足3个条件： 1.套利组合要求投资者不追加资金，即套利组合属于自融资组合
ri
ri 0 1bi
0
APT资产定价线 bi
0 , 1是什么 ?
无风险资产的因素敏感度bf 0,则有上式知：0 rf
再令纯因素组合P的因素敏感度等于1，
则，rp rf 1 即：1 rp rf 由此可见，1代表因素风险报酬，即拥有单位因素敏感度
的组合超过无风险利率部分的预期收益率 至此，单因素模型定价公式可以表示为： ri rf (rp rf )bi
从而，可得两因素模型的定价公式： ri rf （rp1 rf）bi1 （rp2 rf）bi2 同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为： ri rf （rp1 rf）bi1 （rp2 rf）bi2 （rp3 rf）bi3 （rpk rf）bik 即一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。
单因素模型定价公式推导
套利组合的预期收益率： rp x1r1 x2r2 x3r3 xnrn
约束条件：
x1 x2 x3 xn 0
b1x1 b2 x2 b2 x3 bn xn 0
则根据拉格朗日原理，建立如下函数：
其中bij 表示i证券收益率对j因素的敏感系数, 也称为因素敏感度
四 套利定价模型的意义与应用价值
五 为你所用
套利
套利（Arbitrage）
也称为价差交易，是指利用同一种实物资 产或者证券的不同价格来赚取无风险利润 的行为。
套利的基本特征： 1.买入、卖出同时完成 2.交易者不承担任何风险 3.不需要投资但有正的收益
x1 x2 x3 0
0.9x1 3.1x2 1.9x3 0 显然，上述方程有多解，这里我们令
x1 0.1,则可求出x2 0.083, x3 0.183 也就是说，我们通过买进150万（0.11500）的第一种股票，
124.5万的第二种股票，同时卖出274.5万的第三种股票，就
双因素以及多因素模型的定价公式
用同样的方法我们可以得到：
ri 0 1bi1 2bi2 依照单因素模型对0的分析，仍然可以可到0 rf 关于1的含义，考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为1， 对第二种因素的敏感度为0，从而可得1 rp1 rf 关于2的含义，另考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为0， 对第二种因素的敏感度为1，从而可得2 rp2 rf
0.1 0.16 0.083 0.2 0.183 0.13 0.881%
套利定价模型（APT）的推导
若套利机会存在，投资者通过买入收 益率偏高的证券同时卖出收益率偏低的证 券来实现套利，其结果是使收益率偏高的 证券价格上升，则收益率将相应下降；同 时使收益率偏低的证券价格下降，其收益 率将相应上升。这一过程将一直持续到各 种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏 感度保持适当的关系为止。
3.期望收益率取决于资产对风险 因素的敏感性
因素模型告诉我们，资产的期望收益率 可以通过若干风险因素来解释。因素的未来 不确定性使得资产的收益不定。因素的不确 定性越大，投资者对该因素要求的风险报酬 率越高，否则，没有足够高的预期收益，投 资者会远离该资产，造成该资产需求下降， 价格随之下降，同时，预期收益提高，直至 出现平衡。
r1
0
1b1
0
L x2
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0
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0
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0
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x1
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0
L
1
b1x1
b2 x2
b2 x3
bn xn
0
可得到：
ri 0 1bi ;此即为单因素模型APT定价公式，其中0，1是常数。
ri
a
bi F
i ,证券i的方差为风险
)
bi2F（2 因素风险） （2i 非因素风险）
2.双因素模型（ 所有资产 的收益受两个因素影响）
ri a bi1F1 bi2F2 i
3.多因素模型（ 所有资产 的收益受多个因素影响）
ri a bi1F1 bi2F2 bi3F3 bik Fk i
x1 x2 x3 xn 0 其中xi表示投资者持有i证券的金额比例
2.套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风险
单因素模型如下：
b1x1 b2 x2 b2 x3 bn xn 0 而在双因素模型下，条件2的表达式为： b11x1 b12 x2 b13x3 b1n xn 0 b21x1 b22 x2 b23 x3 b2n xn 0 多因素模型以此类推。
谢谢！
套利定价模型的意义
1.套利机制是实现金融市场均衡的重要机制
CAPM——理性预期均衡机制
大部分甚至全部投资者具有相同预期，并以此预期 买卖资产，推动均衡价格的形成 APT ——套利机制
部分投资者可以识别并利用套利机会，以此买卖资 产，推动均衡价格的形成
2.“一价定律”与套利交易密切相 关
“一价定律”指出，如果两种资产在所 有经济意义的相关方面都相等，则它们的市 场价格相等。市场违背“一价定律”是触发 套利交易的必要条件，也就是说，如果发生 了套利交易，市场上一定有违背“一价定律” 的情况存在，而市场违背“一价定律”不是 触发套利交易的充分条件。
套利定价模型（APT）
—另外一种阐述资产价格形成的逻辑
王志方 zhifang925@
套利定价理论的诞生
1976年，罗斯提出套利定价理论（APT）。
该理论认为各种证券的收益率受 某个或者某几 个因素 的影响，各种证券收益率之所以相关，
是因为它们都会对这些共同的因素起反应。 同CAPM一样，它预测了（或者说推导出）
3.套利组合的预期收益率应大于零
x1r1 x2r2 x3r3 xnrn 0
例：
某投资者拥有一个3种股票组成的投资组合，3种股票的 市值均为500万，投资组合的总价值为1500万元。假定 这3种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为 16%，20%，13%，其对该因素的敏感度分别为0.9， 3.1和1.9.请问该投资者能否修改其投资组合，以便在不 增加风险的情况下提高收益率
应用价值
这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时
不管如何，拿到APT才是关键
多因素模型的定价公式
因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度
因素敏感度
rit rf （rp1t rf）bi1t （rp2t rf）bi2t （rp3t rf）bi3t （rpkt rf）bikt
易行为对证券价格不发生影响。 • 没有交易成本。
APT不要求成立的假设条件
• 单一投资期 • 不存在税的问题 • 投资者能以无风险利率自由地借入和贷出
资金
• 投资者以回报率的均值和方差选择投资组 合
主要内容
一 套利与“一价定律” 二 套利如何实现
套利组合的构建
三 套利定价模型的实现
1.单因素模型（ 所有资产 的收益受某一因素影响）
MaxL x1r1 x2r2 x3r3 xnrn 0 (x1 x2 x3 xn ) 1(b1x1 b2 x2 b2 x3 bn xn )
L取最大值的一价条件：分别对xi和求偏导，令其为0
L x1
因素1风险报酬 因素2风险报酬 因素3风险报酬
因素k风险报酬
多因素模型的定价公式=多元回归
预测收益率
rit rf a0rit 1 （rp1t rf）bi1t （rp1t1 rf）bi1t1 （rp2t rf）bi2t （rp2t1 rf）bi2t1 （rp3t rf）bi3t （rp3t1 rf）bi3t1 （rpkt rf）bikt （rpkt1 rf）bikt1
与风险预期收益相关的证券市场线。二者不同之 处在于：CAPM建立在均值—方差基础之上，而 APT建立在“一价定律”之上。
APT相对于CAPM更优越的地方还在于其较 少的假设条件：
APT与CAPM共同的假设条件
• 投资者有相同的投资理念，存在着大量投 资者
• 投资者追求效用最大化 • 投资者是价格的接受者，单个投资者的交
一价定律
一般来讲，一价定律包括两个：
商品市场中的一价定律：就商品的价格来看 金融市场中的一价定律：就金融资产的价格—收益率来看
即相同资产具有同一价格（同一有效价格？）
市场违背一价定律，套利机会就可能出现， 而套利的实施效果就是套利机会的消失，一价定 律的成立。
套利组合的构建
根据套利的定义，套利组合要满足3个条件： 1.套利组合要求投资者不追加资金，即套利组合属于自融资组合
ri
ri 0 1bi
0
APT资产定价线 bi
0 , 1是什么 ?
无风险资产的因素敏感度bf 0,则有上式知：0 rf
再令纯因素组合P的因素敏感度等于1，
则，rp rf 1 即：1 rp rf 由此可见，1代表因素风险报酬，即拥有单位因素敏感度
的组合超过无风险利率部分的预期收益率 至此，单因素模型定价公式可以表示为： ri rf (rp rf )bi
从而，可得两因素模型的定价公式： ri rf （rp1 rf）bi1 （rp2 rf）bi2 同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为： ri rf （rp1 rf）bi1 （rp2 rf）bi2 （rp3 rf）bi3 （rpk rf）bik 即一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。
单因素模型定价公式推导
套利组合的预期收益率： rp x1r1 x2r2 x3r3 xnrn
约束条件：
x1 x2 x3 xn 0
b1x1 b2 x2 b2 x3 bn xn 0
则根据拉格朗日原理，建立如下函数：
其中bij 表示i证券收益率对j因素的敏感系数, 也称为因素敏感度
四 套利定价模型的意义与应用价值
五 为你所用
套利
套利（Arbitrage）
也称为价差交易，是指利用同一种实物资 产或者证券的不同价格来赚取无风险利润 的行为。
套利的基本特征： 1.买入、卖出同时完成 2.交易者不承担任何风险 3.不需要投资但有正的收益
x1 x2 x3 0
0.9x1 3.1x2 1.9x3 0 显然，上述方程有多解，这里我们令
x1 0.1,则可求出x2 0.083, x3 0.183 也就是说，我们通过买进150万（0.11500）的第一种股票，
124.5万的第二种股票，同时卖出274.5万的第三种股票，就
双因素以及多因素模型的定价公式
用同样的方法我们可以得到：
ri 0 1bi1 2bi2 依照单因素模型对0的分析，仍然可以可到0 rf 关于1的含义，考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为1， 对第二种因素的敏感度为0，从而可得1 rp1 rf 关于2的含义，另考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为0， 对第二种因素的敏感度为1，从而可得2 rp2 rf