第十讲 不可压缩Navier-Stokes方程的求解

1 * vin, j 1 / 2 vi , j 1 / 2 t / y ( pi , j 1 pi , j 1 ) 0
1 n 1 n 1 (uin11/ 2, j uin 1 / 2 , j ) / x ( vi , j 1 / 2 vi , j 1 / 2 ) / y 0
pi 1, j pi 1, j 2x pi , j 1 pi , j 1 2y
pi , j 1 pi , j 1 p y 2y i , j
0,
0
特点： 高压-低压点间隔分布
采用中心差分格式计算出：
p p 0 x y
Vn
Step 1 : 得到n 时间步的值
Step 2: 进行如下内迭代直至收敛
p k 1 p k V k 0 t k 1 V Vk 1 2 n V n V n p k V t Re
V n 1
内迭代收敛慢，效率较低； 通常不使用人工压缩方法解非 定常问题。
密度为常数的不可压缩Navier-Stokes方程组：
V 0 V 1 2 V V p V t Re
V V (VV)
温度对密度的影 响可忽略不计
特点： 动量方程与能量方程解耦 压力属于约束变量而不是发展变量
压力不能时间推进 求解
可压缩 易处 压力可推进求解，易于使用 显格式
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知识回顾
二、 网格生成 1. 代数网格生成法 2. 解椭圆型方程网格生成法 A F 物 理 空 间
y 2 y 2 ( x)
E
B C D
y1 y1 ( x)
F’
E’
D’
计 算 空 间
A’
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B’
C’
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10. 1 不可压缩Navier-Stokes方程的特点
在v的网格点上离散 交错网格示意图 压力p 速度 u 速度v
pi , j 1 pi , j p y x i , j 1/ 2
pi , j
ui 1 / 2, j vi , j 1 / 2
注： 对流项通常采用迎风格式离散
u
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u u u u u x x x
u
u u 2
后差
前差
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2) 对流项的处理原则
V 0 V 1 2 V V p V t Re
守恒型
普通型
关系式1：
(VV) V V V( V) V V
(uu) (uv) u y u v u v u( ) x y x y x y (uv ) (vv ) v v u v u v v( ) x y x y x y
V 0
V 0
人工压缩性因子 相当于
p 2 p c t t p s t
c2
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p 2 c V 0 t
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对于定常问题，需要迭代到收敛
max( u n 1 u n , v n 1 v n ,
0
p V 0 t V 1 2 V V p V t Re
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人工压缩性因子
达到定常态
V 0
p V 0 t
流动压缩时 （ V 0 ），压力升高 流动膨胀时 （ V 0 ），压力降低
增大 可令压力收敛加快， 但会增加方程的刚性（降低时 间步长）。
u u p 1 2 u u v u t x x Re y
vi , j 1 / 2
在u的网格点上离散
pi 1, j
ui 1 / 2, j
pi 1, j pi , j p x x i 1/ 2, j
pi , j
v v v p 1 2 u v u t x y y Re
关系式2：
1 V V V 2 ω V 2 V 0 V 1 2 ω V ~ p V t Re
兰姆-葛罗米柯等式
~ p p V 2 / 2
ω V
总压 不足 有混淆误差 有混淆误差 计算量大 计算量略大
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表达式 普通型 守恒型 旋度型
V V
u13 u 23 u 33
u1n u2n u3 n u nn
a j x j 1 b j x j c j x j 1 d j
x j Aj x j 1 B j
2
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知识回顾
迭代法
2u 2u f ( x, y ) x 2 y 2 u g ( x, y )
ui 1, j ui 1, j ui, j 1 ui, j 1 4ui , j f i , j 2
Gauss-Seidel迭代
n n
Jacobi迭代
n
n
n+1
n+1
n+1
n
n+1
LU-ADI
n
n+1
n+1
n+1
n+1
LU-SGS
n n n+1
n
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优点 简单，易于迎风 简单，守恒 混淆误差小 混淆误差小
(VV)
ωV
螺旋-对称型 [V V (VV)] / 2
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10. 2 人工压缩性方法（求解定常方程）
V 0 V 1 2 V V p V t Re
不可压缩 压力方程具有椭圆性，无法推进 求解。压力方程收敛性差
难处 研究重点
可能出现间断 激波捕捉
不会出现间断 压力处理
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1） 压力的处理原则
p11
p12
pn P n
概念澄清： 压力—— 动力学压力及热力学压力
动力学压力 动力学压力—— 应力的中各向同性部分
流场竟然“保持稳定” “奇偶失联”
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常用措施： 交错网格
u v 0 x y u u p 1 2 u u v u t x x Re y v v v p 1 2 u v u t x y y Re
静止流体或无粘流体中力的 平衡—— 动力学压力的概念
热力学压力： 分子对固壁的碰撞， 产生压力
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奇偶失联与交错网格 压力项，通 u v 0 常采用中心 x y 差分离散 u u p 1 2 u u v u pi 1, j pi 1, j p t x x Re y , x 2 x i, j v v v p 1 2 u v u t x y y Re 极端情况： 棋盘式压力场 高压 低压
2 p
1 V* t
求解，得到压力p
Step 3: 最终步
V n 1 V * p 0 t
得到n+1时刻的V
以 1阶精度时间推进方法为例，实际上可采用更高阶精度时间推进方法： Karniadakis GE, Israeli M, Orszag SA. 1991 Highorder splitting methods for the incompressible Navier-stokes equations. J. Comp. Phys. 97:414-443. Copyright by Li Xinliang 13
V V 1 2 n ( V V V) 0 t Re
* n
V 0 V 1 2 (V V V) p 0 t Re
可时间推进
不能时间 推进
Step 2: 压力修正步
V n 1 V * p 0 t V n 1 0
1
p V 0 t V 1 2 V V p V t Re

p n 1 p n )
对于非定常问题，需要内迭代 （效率较低）
V 0 V 1 2 V V p V t Re
p V 0 t V 1 2 V V p V t Re
p 22 p 22
Pij p ij 2ij
连续介质微元体的受力平衡： 应力的概念
热力学压力—— 由分子动力学性质决定 —— 状态方程 完全气体：
p RT
热力学压力
p
p n pn
p
可压缩N-S方程： 动力学与热力学耦合；动力学压力= 热力学压力 不可压缩N-S方程： 动力学与热力学解耦 由不可压缩条件确定压力 （纯动力学概念）
3） 投影法——求解离散型压力Poisson方程 压力修正步： 将离散的动量方程带入离散的连续性方程，得到 离散的压力方程
V n 1 V * p 0 t V n 1 0
交错网格上离散
(1) (2) (3)
uin11/ 2, j ui*1 / 2, j t / x( pi 1, j pi , j ) 0
Step 3: 收敛后的V即为
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10.3 求解压力Poisson方法 （投影法）
1） 压力的控制方程
V 0 V 1 2 V V p V t Re
对动量方程求散度
2 p (V V)
Poisson方程——压力的控制方程
a1n 1 u11 u12 l a23 a2 n 1 u 22 21 a 33 a3n l31 l32 1 an3 ann ln1 ln 2 ln3 1 a13
计算流体力学讲义2011
第十讲 不可压缩Navier-Stokes方程的求解
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
拟压缩性方法 求解压力Poisson方程法 涡流函数法 Simple方法
讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 http://cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public
2 p ( V V ) V 1 2 V V p V t Re
无法时间推进 需联立求解，通常采用 时间分裂法
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2） 投影法——求解微分型压力Poisson方程 原理： 将时间推进分成三个子步， 中间步解出压力 Step 1: 预算步
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知识回顾
一、 代数方程组的求解 直 接 法 Gauss 消元法
a11 a12 a a22 21 A a31 a32 a n1 a n 2 a13 a23 a 33 an 3
Ax b
a1n a2 n a 3n ann
a11 a12 0 a 22 A 0 0 0 0
a13 a23 a 33 0
0
a1n a2 n a 3n ann
a11 LU分 a21 解法 a 31 an1
追赶法：
a12 a22 a32 an 2