平面简谐波

u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程 ） 为坐标原点，
A = 3×10 m T = 0.5s ϕ = 0 λ = uT = 10 m t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ t x −2 y = (3 × 10 m ) cos 2π ( − ) 0 .5s 10 m
∆x
x x
t x y = A cos 2 π ( − ) ϕ (t , x) = ϕ (t + ∆t , x + ∆x) T λ t x t + ∆t x + ∆x ∆t ∆x = ∆x = u∆t 2π ( − ) = 2π ( − ) T λ T λ T λ
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
一 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（ 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 ） 位移（ 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 ）随时间的变化关系， 为波函数. 为波函数
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移
-1 -1
λ = x2 − x1 = 200 cm
-1 源自文库1
周期为相位传播一个波长所需的时间 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s )t1 − (0.01cm ) x1 ] = π [(2.50s )t2 − (0.01cm ) x2 ]
x2 − x1 = λ = 200 cm T = t 2 − t1 = 0.8 s
= (1 . 0 m) sin( π m ) x
−1
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t = 1 . 0 s 时刻波形图
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
3） x = 0 .5 m 处质点的振动规律并做图 . ）
t x π y = (1.0m) cos[2 π( − )− ] 2.0s 2.0m 2 x = 0 .5 m 处质点的振动方程
x2 − x1 u= = 250 cm ⋅ s −1 t 2 − t1
第十章 波动学基础 10 – 2 平面简谐波 轴正方向传播， 例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A = 1.0m ， = 2 . 0 s ， = 2.0m . 在 t = 0 时坐标 T λ 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 ） 解 写出波动方程的标准式
2）平面简谐波的波函数为 y = A cos( Bt − Cx ) ） 为正常数，求波长、波速、 式中 A , B , C 为正常数，求波长、波速、波传播方 的两点间的相位差. 向上相距为 d 的两点间的相位差
t x y = − A cos 2π ( − ) T λ x y = − A cos ω ( −t − ) u
比较得
λ 2cm 2 −1 = 200 cm u = = 250cm⋅ s T = s = 0.8 s λ = T 0.01 2.5
第十章 波动学基础 10 – 2 平面简谐波 已知波动方程如下，求波长、周期和波速. 例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速
y = (5cm) cosπ [(2.50s )t − (0.01cm ) x].
x
8 ϕ B − ϕ C = −2π = −2π = −1.6π λ 10 xC − xD − 22 = −2π = 4.4π ϕ C − ϕ D = −2π λ 10
xB − xC
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
讨论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 ）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和 x = 0 点的初相位. 点的初相位
已知波动方程如下，求波长、周期和波速. 例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速
y = (5cm) cosπ [(2.50s -1 )t − (0.01cm -1 ) x].
解：方法一（比较系数法）. 方法一（比较系数法）
t x y = A cos 2π ( − ) T λ
把题中波动方程改写成
2.50 -1 0.01 -1 y = (5cm ) cos 2π [( s )t − ( cm ) x ] 2 2
x
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
y
如果原点的 初相位不 初相位不为零
A
O
u
λ
x
x = 0 ,ϕ ≠ 0 − A
点 O 振动方程
yO = A cos(ωt + ϕ ) x 波 y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] u 沿 x 轴正向 u 函 x 数 y = A cos[ω (t + ) + ϕ ] u 沿 x 轴负向 u
x x ∆ ϕ = −ω = − 2 π u λ 波具有时间的周期性） y ( x, t ) = y ( x, t + T ) （波具有时间的周期性）
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
波线上各点的简谐运动图
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[2 π( − ) + ϕ ] u T λ
平面简谐波 . 令 原点O 原点 的初相为 零，其振动方程
yO = Acosωt
时间推 迟方法
yO = Acosωt
点O 的振动状态
t-x/u时刻点 的运动 时刻点O
点P 振动方程
x y P = A cos ω (t − ) u
=
x ∆t = u
点P
t 时刻点 P 的运动
10 – 2 平面简谐波 波函数
10 – 2 平面简谐波 二 波函数的物理意义
第十章 波动学基础
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[2 π( − ) + ϕ ] u T λ
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动 固定时， 方程， 振动的相位差. 方程，并给出该点与点 O 振动的相位差
t x y = A cos[ 2π ( − ) + ϕ ] T λ
O
v A
y ω
t=0 x=0
∂y y = 0, v = >0 ∂t
π ϕ =− 2
10 – 2 平面简谐波 2）求 t = 1 . 0 s 波形图 波形图. ）
第十章 波动学基础
t x π y = (1 . 0 m) cos[ 2 π ( − )− ] 2 .0 s 2 .0 m 2 π −1 t = 1 . 0 s y = (1 . 0 m) cos[ − (π m ) x ] 2 波形方程
y = (1.0m) cos[(π s )t − π ] y/m y
3 4
O
−1
1.0 2 0 -1.0*1 2 *
3 *
1
ω
1.0
4 *
2.0
*
*
t /s
x = 0.5 m 处质点的振动曲线
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
沿直线传播,波 例3 一平面简谐波以速度u = 20m / s 沿直线传播 波 −2 −1 线上点 A 的简谐运动方程 y A = (3 × 10 m) cos(4 π s )t .
第十章 波动学基础
y A
O
v u
P
x y = A cos ω (t − ) u
点 O 振动方程
*
−A
x
λ
x
y o = A cos ω t x = 0 ,ϕ = 0
相位落后法
落后的相位 点 P 比点 O 落后的相位
∆ϕ = ϕ p −ϕO = −2π λ x x x ϕ p = −2π = −2π = −ω λ Tu u x y p = A cos ω (t − ) 点 P 振动方程 u
−2
t x y = (3 ×10 m) cos[2π ( − ) +π ] 0.5s 10m
10 – 2 平面简谐波
−2
第十章 波动学基础
−1
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程 ）写出传播方向上点
u
C
y A = (3 ×10 m) cos(4 π s )t λ = 10m 8m 5m 9m
当机械波在媒质中传播时， 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能. 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播. 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播
−2
10 – 2 平面简谐波
−2
第十章 波动学基础
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程 ） 为坐标原点，
y A = (3 × 10 m ) cos( 4 π s )t
−1
u
8m C 5m 9m A D
oB
x
ϕ B − ϕ A = −2π
xB − x A
λ
−5 = − 2π =π 10
ϕB =π
y B = (3 ×10 −2 m) cos[(4π s −1 )t + π ]
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点 一定时， 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形. 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形 波具有空间的周期性） y ( x, t ) = y ( x + λ , t ) （波具有空间的周期性）
x1 t x1 ϕ1 = ω (t − ) + ϕ = 2 π ( − ) + ϕ u T λ x2 t x2 ϕ2 = ω (t − ) + ϕ = 2 π ( − ) + ϕ u T λ
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
波动方程的其它形式
t x y(x,t) = Acos[2 π( − ) +ϕ] T λ
质点的振动速度， 质点的振动速度，加速度
∂y x v = = −ωAsin[ω(t − ) +ϕ] ∂t u 2 ∂ y x 2 a = 2 = −ω Acos[ω(t − ) +ϕ] ∂t u
9 λ = (3 × 10 − 2 m ) cos[( 4 π s −1 )t − π ] 5
−1
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差 ）
y A = (3 ×10 m) cos(4 π s )t
−2
−1
u
8m C B 5m 9m D
λ = 10m
oA
B
−2
oA
D
−1
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
点 D 的相位落后于点 A
−2
yC = (3 × 10 m ) cos[( 4 π s )t + 2 π ] 13 λ = (3 × 10 −2 m ) cos[( 4 π s −1 )t + π ] 5
AD yD = (3×10 m) cos[( π s )t − 2 π 4 ]
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 均变化， 向的运动情况（行波） 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
时刻
t + ∆t 时刻
(向x 轴正向传播 , ϕ = π )
(向x 轴负向传播 , ϕ = π )
y = A cos( Bt − Cx )
2π T= B
2π λ= C
B u= = T C
λ
t x y = A cos 2 π ( − ) T λ
∆ϕ = 2 π d
λ
= dC
10 – 2 平面简谐波 3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示， 以余弦函数表示， 求 O、a、b、c 各 点振动初相位 初相位. 点振动初相位
波线上各质点 平衡位置 平衡位置
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中， 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 简谐运动时，在介质中所形成的波 平面简谐波：波面为平面的简谐波 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
10 – 2 平面简谐波 以速度u 沿
第十章 波动学基础
x 轴正向传播的
-1 -1
解：方法二（由各物理量的定义解之）. 方法二（由各物理量的定义解之） 波长是指同一时刻 波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两 点间的距离. 点间的距离
π [(2.50s-1 )t − (0.01cm-1 ) x1 ] −π [(2.50s-1 )t −
(0.01cm -1 ) x2 ] = 2π
第十章 波动学基础
t =0
y
A
O
u
a b c
t=T/4
ϕ (− π ~ π ) v A ϕo = π O y
ω
ω
O
−A
λ
x
ω
O
v A ϕ =0 b y
π ϕc = − 2
v A
y
π ϕa = 2
v A
O
ω
y
10 – 2 平面简谐波
第十章 波动学基础
10 – 2 平面简谐波 一 波动能量的传播
第十章 波动学基础