关于矩阵可对角化的几个条件
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第２ ３卷第 １期
２１ ０ ０年 ２月
常 州 工 学 院 学 报
Ｊ ｕ ａ ａ ｇ ｈ ｕ Ｉ ｔｔ ｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｏ ｍ ｌ ｏｆＣｈ ｎ ｚ ｏ ｎｓｉｕ ｅ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ
Ｖｏｌ２３ Ｎ ｏ． Ｉ １ Ｆｅ ２ ０ ｂ． ０１
关 于矩 阵可对 角 化 的几个 条 件
质出发 ， 讨论 了矩阵可对角化 的条件 ， 并给 出了矩 阵只有 两个特征值 时可对 角化 的一种简单 判别方法 。
１ 定 义 及 引 理
又 甲 … 衣 不 ｎ ×ｎ头 ， 降 嗣 集 合 ， 表 不 ｎ ｒ 但 矩 。 炮 早
定义 １ 设 Ａ ∈ ， Ａ Ｅ， Ｒ 若 ＝ 则称矩 阵 Ａ 为对合 矩 阵 。 定义 ２。 设 Ａ ∈ ， Ｒ 若存 在相 似变换 矩 阵 Ｔ 使 Ｔ。ＡＴ为对 角矩 阵 ， 称矩 阵 Ａ 可对 角化 。 ， 则
中图分类 号 ： ２ １ ６ Ｏ ４ ．
文献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：６ １— ４ ６ ２ １ ） １— ０ ５— ４ １７ ０ ３ （ ０ ０ ０ ０ ３ ０
Ｏｎ ｏ ｅ Ｃｏ ｄｉｉｎｓｏ ａ ０ ｌｚ ｔ０ ｆＭ ａ ｒｘ Ｓ ｍ ｎ ｔｏ ｆＤｉ ｇ ｎａｉａ ｉ ｎ ｏ ｔ ｉ
另 一方 面 ：
（曰 一 艿 ＝ ， ］ （ ］ ＝ （ —一 曰＝ 一 Ｅ ， ２（ Ｅ ｆ ， Ｅ ］ “ ， 令（． ＝贝 １］ｒ有 ＝ －： ， ｕ ｒ＝（Ｓ１ ： ］ Ｅ（ ］ Ｓ１： — ［ （ 一 ＝ 一 －Ｔ － 一 —］ （ ， １１ （ ， Ｔ Ｓ Ａ ， 一］ （ （ 笠 ］ｆ 。］ ） ＝曰 ＝ ｆ ” （ （Ｉ 笠 ］ ：ｓ】
Ｄ Ｉ ｉ － ｎ ＨＵ ＮＧ Ｃ ａ — ｉｇ Ａ ｎ ｆ Ｐ ｇａ Ａ ｈ ｏｒ ｎ ｕ
（ ｅ ａｔ ｎ ｆＭａ ｅ ｔ ｓａｄＣ ｍ ｕｅ，ａｍｉｇＵ ｉｅｓｙ Ｓ ｎ ｎ ６０ ４ Ｄ ｐｒ ｍｅｔｏ ｔ ｍａ ｃ ｎ ｏ ｐ ｔｒＳｎ ｎ ｎｖｒｉ ，ａｍｉｇ３５ ０ ） ｈ ｉ ｔ
＝
其
是 ，阶矩 阵 。 由 ．
得：
收 稿 日期 ：０ ００ —１ ２ １—２１
基 金项 目 ： 建 省 教 育厅 项 目 （Ｂ ９ ２ ） 三 明 学 院科 研 基 金 项 目（ ０ ２ ／ ， 明 学 院 优势 学 科 项 目 （ Ｓ ０ ０ ） 福 Ｉ０２８ ， Ｂ ８ ６ Ｑ） 三 Ｙ ＸＫ ６ ３ 作者 简 介 ： 平 凡 （ ９５ 戴 １７ 一 ）男 ， 师。 ， 讲
Ｋ ｅ ｏ ｄｓ：ｄ ａ ｏ ａ ｉａｉ ｎ ｏ ａｒｘ ；ｉ ｏ ｕ ｏ ｙ ｍ ａｒｘ；ｅ ｃ ａ ｇｅ ｂｌ ａｒｘ ｙｗ ｒ ｉｇ ｎ ｚ ｔｏ ｆｍ ｔｉ ｌ ｎｖ ｌ ｔ ｒ ｔｉ ｘ ｈ ｎ ａ ｅｍ ｔ ｉ
矩 阵对 角化是线性变换 和化二次型到 主轴 上 问题 中经 常遇 到并需 要解决 的一 个关 键 问题 ， 然而 并非 任何一个阶矩 阵都可 以对角化 ， 阵的对角 化有 多种判 别方 法 引。本 文从 对合 矩 阵及可 交换矩 阵 的性 矩
引ｌ设 ，为 矩则 可 ｒ ｌ（ ］ 理 Ａ 且 对 阵存 逆 ， Ａ — 。 ［ ∈ Ａ 合 ，在 阵使 … ＝
引理 ２ 设 Ａ， Ｒ ， Ａ Ｅ， 。 Ｅ， Ｂ ＝ Ａ， 存在 可逆 阵 Ｔ， Ａ， 可 同时对角 化 。 Ｂ∈ 且 ＝ Ｂ ＝ Ａ Ｂ 则 使 Ｂ
证 因 ＝ 以 理 在 阵， １＝ Ｅ。 明 为 Ｅ 由 ｌ可 ｆ 一 ， 引 存 逆 使 Ａ —， 所 ］
３ ６
常州工 学 院学 报
２１ ００年
＝
一
Ｔ Ｉ Ｔ Ｔ １ １ （Ｂ Ｔ ＝Ｔ １ＢＴ ＝Ｔ １ Ｉ １Ｂ １ ｒ （Ｂ ￣ ＡＴ ＝Ｔ １ Ａ １ （Ａ １ （ＡＴ Ｔ １ Ｔ ＝
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其次 ：
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Ⅳ Hale Waihona Puke Baidu
、，
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Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｓ ｐ ｐ ｒｄ ｓ ｕ ｓ ｓｔｅ ｃ ｎ ｉｉ ｎ ａ ｏ ａ ｉａｉ ｎ ｏ ｔｉ ｈ ｏ ｇ ｓｎ ｅ ｐ ｏ ｉ ａ ｅ ｉｃ ｓ ｅ ｈ ｏ ｄ ｔｏ ｓｏｆｄｉｇ ｎ ｚ ｔ ｆｍａｒｘ ｔ ｒ ｕ ｈ ｕ ｉ ｇ ｔ ｒ ｐ— ｌ ｏ ｈ ｅ ｔｅ ｆｉ ｖ ｌ ｔ ｒ ｔｉ ｎ ｘ ｈ ｎ ｅ ｂ ｅ ｍａｒｘ， ｎ ｒ ｖ ｄ ｓ ａ ｓｍｐ ｅ ｃ ｅ ｋ ｎ ｔｏｄ ｆ ｒｄ ａ ｏ— ｒｉ ｓｏ ｎ ｏ ｕ ｏ ｙ ｍａｒｘ ａ ｄ ｅ ｃ ａ ｇ ａ ｌ ｔ ｉ ａ ｄ ｐ ｏ ｉ ｅ ｉ ｌ ｈ ｃ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｏ ｉｇ ｎａｉａｉ ｎ ｏ ｔｉ ｅ ｅ ｍ ａｒ ｏ ｔ ｌｚ ｔ ｆｍａｒｘ ｗｈ ｎ ｔ ｔｉ ｃ ｎ ｍｎｓｔ ｈ ｒｃ ｅ ｉｔｃ ｖ ｌ ｅ ． ｏ ｈ ｘ ｗｏ ｃ ａ ａ ｔｒｓ ａ ｕ ｓ ｉ
戴 平凡 黄 朝 铭
（ 明学院数学与计算机科学系 ， 三 福建 三明 ３ ５０ ） ６ ０４
摘要 ： 用对合 矩 阵及 可 交换 矩 阵的性 质 ， 论矩 阵可 对 角化 的条 件 ， 给 出矩 阵 只有 两 个特 利 讨 并 征 值 时可对 角化 的 一种 简单判 别方 法。
关键 词 ： 阵对 角化 ； 矩 对合 矩 阵； 交换 矩 阵 可
２１ ０ ０年 ２月
常 州 工 学 院 学 报
Ｊ ｕ ａ ａ ｇ ｈ ｕ Ｉ ｔｔ ｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｏ ｍ ｌ ｏｆＣｈ ｎ ｚ ｏ ｎｓｉｕ ｅ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ
Ｖｏｌ２３ Ｎ ｏ． Ｉ １ Ｆｅ ２ ０ ｂ． ０１
关 于矩 阵可对 角 化 的几个 条 件
质出发 ， 讨论 了矩阵可对角化 的条件 ， 并给 出了矩 阵只有 两个特征值 时可对 角化 的一种简单 判别方法 。
１ 定 义 及 引 理
又 甲 … 衣 不 ｎ ×ｎ头 ， 降 嗣 集 合 ， 表 不 ｎ ｒ 但 矩 。 炮 早
定义 １ 设 Ａ ∈ ， Ａ Ｅ， Ｒ 若 ＝ 则称矩 阵 Ａ 为对合 矩 阵 。 定义 ２。 设 Ａ ∈ ， Ｒ 若存 在相 似变换 矩 阵 Ｔ 使 Ｔ。ＡＴ为对 角矩 阵 ， 称矩 阵 Ａ 可对 角化 。 ， 则
中图分类 号 ： ２ １ ６ Ｏ ４ ．
文献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：６ １— ４ ６ ２ １ ） １— ０ ５— ４ １７ ０ ３ （ ０ ０ ０ ０ ３ ０
Ｏｎ ｏ ｅ Ｃｏ ｄｉｉｎｓｏ ａ ０ ｌｚ ｔ０ ｆＭ ａ ｒｘ Ｓ ｍ ｎ ｔｏ ｆＤｉ ｇ ｎａｉａ ｉ ｎ ｏ ｔ ｉ
另 一方 面 ：
（曰 一 艿 ＝ ， ］ （ ］ ＝ （ —一 曰＝ 一 Ｅ ， ２（ Ｅ ｆ ， Ｅ ］ “ ， 令（． ＝贝 １］ｒ有 ＝ －： ， ｕ ｒ＝（Ｓ１ ： ］ Ｅ（ ］ Ｓ１： — ［ （ 一 ＝ 一 －Ｔ － 一 —］ （ ， １１ （ ， Ｔ Ｓ Ａ ， 一］ （ （ 笠 ］ｆ 。］ ） ＝曰 ＝ ｆ ” （ （Ｉ 笠 ］ ：ｓ】
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是 ，阶矩 阵 。 由 ．
得：
收 稿 日期 ：０ ００ —１ ２ １—２１
基 金项 目 ： 建 省 教 育厅 项 目 （Ｂ ９ ２ ） 三 明 学 院科 研 基 金 项 目（ ０ ２ ／ ， 明 学 院 优势 学 科 项 目 （ Ｓ ０ ０ ） 福 Ｉ０２８ ， Ｂ ８ ６ Ｑ） 三 Ｙ ＸＫ ６ ３ 作者 简 介 ： 平 凡 （ ９５ 戴 １７ 一 ）男 ， 师。 ， 讲
Ｋ ｅ ｏ ｄｓ：ｄ ａ ｏ ａ ｉａｉ ｎ ｏ ａｒｘ ；ｉ ｏ ｕ ｏ ｙ ｍ ａｒｘ；ｅ ｃ ａ ｇｅ ｂｌ ａｒｘ ｙｗ ｒ ｉｇ ｎ ｚ ｔｏ ｆｍ ｔｉ ｌ ｎｖ ｌ ｔ ｒ ｔｉ ｘ ｈ ｎ ａ ｅｍ ｔ ｉ
矩 阵对 角化是线性变换 和化二次型到 主轴 上 问题 中经 常遇 到并需 要解决 的一 个关 键 问题 ， 然而 并非 任何一个阶矩 阵都可 以对角化 ， 阵的对角 化有 多种判 别方 法 引。本 文从 对合 矩 阵及可 交换矩 阵 的性 矩
引ｌ设 ，为 矩则 可 ｒ ｌ（ ］ 理 Ａ 且 对 阵存 逆 ， Ａ — 。 ［ ∈ Ａ 合 ，在 阵使 … ＝
引理 ２ 设 Ａ， Ｒ ， Ａ Ｅ， 。 Ｅ， Ｂ ＝ Ａ， 存在 可逆 阵 Ｔ， Ａ， 可 同时对角 化 。 Ｂ∈ 且 ＝ Ｂ ＝ Ａ Ｂ 则 使 Ｂ
证 因 ＝ 以 理 在 阵， １＝ Ｅ。 明 为 Ｅ 由 ｌ可 ｆ 一 ， 引 存 逆 使 Ａ —， 所 ］
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戴 平凡 黄 朝 铭
（ 明学院数学与计算机科学系 ， 三 福建 三明 ３ ５０ ） ６ ０４
摘要 ： 用对合 矩 阵及 可 交换 矩 阵的性 质 ， 论矩 阵可 对 角化 的条 件 ， 给 出矩 阵 只有 两 个特 利 讨 并 征 值 时可对 角化 的 一种 简单判 别方 法。
关键 词 ： 阵对 角化 ； 矩 对合 矩 阵； 交换 矩 阵 可