高等数学微分中值定理教学ppt

第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
(2) 若 m<M，因为 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同时
是两端点的函数值，即最小值 m 和最大值 M至少有一
个在开区间(a,b)内部取得，
不妨设 f (ξ)=M， ξ∈ (a,b).
由条件(2)和费马定理推知 f (ξ)=0.
第三章 导数的应用
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 函数的性质 第三节 洛必达法则
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第一节 微分中值定理
本节主要内容: 一.罗尔中值定理 二.拉格朗日中值定理 三.柯西中值定理
第三章 导数的应用
一、罗尔中值定理
第一节 微分中值定理
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
定理3.1.1 （罗尔中值定理）设函数y= f(x)在区间 [a,b]上有定义，如果
（1）函数 f (x)在闭区间[a，b]上连续； （2）函数 f (x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f (x)在区间两端点处的函数值相等，即
f (a)= f (b)；则在（a，b）内至少存在一个点 a< <b， 使得f ()=0 .
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例3 不求函数f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方 程 f (x)=0有几个实根．
解 函数f(x)在R上可导,所以在区间[1,2],[2,3]上满足 罗尔定理的条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别至少有 一实根；
又 f (x)=0是二次方程,至多有二个实根；

f (0) arcsin 0 arccos 0 0
22
所以 C
即
π arcsin x arccos x (1 ≤ x ≤1)
2
2
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例5
证明：当x>0时， 1
x
x
ln(1 x)
x
证明 设f (x)=ln(1+x),则f (x)在[0,x]上满足拉格朗日
第一节 微分中值定理
f(x)=x3+4x2-7x-10
在区间[-1,2]上的正确性，并求出．
解 （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；
（3）f (-1)=f (2)= 0；
所以 f(x)满足定理的三个条件.
令f (x)=3x2+8x-7=0 解得 x 4 37
则
Hale Waihona Puke Baidu37

4

(1
,
2)
3
就是要找的点，显然有f
(ξ)=0.
3
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例2 证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实 根．
证明 存在性：令 f(x)= x5-5x+1，则f(x)在[0,1]上连续
(3) f (0) f (1).
第一节 微分中值定理
y
0
1x
不 ,使f ( ) 0.
例 f ( x) x , x [1,1];
y
(1) f ( x)在[1,1]上连续
(2) f ( x)在(1,1)内可导
(3) f (1) f (1).
不 ,使f ( ) 0.
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格
朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点，使得
该点的切线平行于曲线两端点 ( a, f(a) )与 ( b, f(b) )的
连线，其斜率为 k f '( ) f (b) f (a)
ba
第三章 导数的应用
1 0
1x
第三章 导数的应用
例
f ( x) x, x [0,1];
(1) f ( x)在[0,1]上连续 (2) f ( x)在(0,1)内可导 (3) f (0) f (1).
不 ,使f ( ) 0.
第一节 微分中值定理
y
0
1x
第三章 导数的应用
例1 验证罗尔中值定理对函数
构造辅助函数 ( x) f (b) f (a) g( x) f ( x)
g(b) g(a)
证: 作辅助函数 ( x) f (b) f (a) g( x) f ( x)
g(b) g(a)
则(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且
(a) f (b)g(a) f (a)g(b) (b)
2.当f (a)=f (b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值 定理；
3.设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+x∈(a,b) 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( ) x
即y f ( ) x
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时 的一种特例。
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
分析: g(b) g(a) g( )(b a) 0 a b
问题转化为证 f (b) f (a) g( ) f ( ) 0
g(b) g(a)
( )
所以方程f (x)=0 有且仅有两个实根,它们分别落在区 间（1,2) （2,3)内．
第三章 导数的应用
二、拉格朗日中值定理
第一节 微分中值定理
定理3.1.2 （拉格朗日中值定理） 设函数 y=f(x)满足 （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导；
那么在(a，b)内至少存在一点 (a< <b) ，使得
第一节 微分中值定理
罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端 点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐
标相等，那么在曲线上至少存在一点 ，在该点处
的切线平行于x 轴(如下图）。
第三章 导数的应用
两点说明：
第一节 微分中值定理
1.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论 上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；
1 x
第三章 导数的应用
三、柯西中值定理
第一节 微分中值定理
定理3.1.3 （柯西中值定理） 设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，且 g(x)在(a,b)内恒不为零，则至少存在
一点 ∈(a,b)，使得
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
中值定理的条件，即
f ( x) f (0) f ( )( x 0),(0 x)
由于 f (0) 0, f ( x) 1 1 x
所以上式变为 ln(1 x) x
1
因为0<<x，所以
x x x
1 x 1
即
x ln(1 x) x
第一节 微分中值定理
定理的证明
因为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，函数 f(x) 在闭区 间 [a,b] 上必能取到最大值 M 和最小值 m ,考虑两种可能 的情况：
(1) 若 m=M,则 f(x) 在 [a,b] 上恒等于常数 M(或 m),
因而在 (a,b) 内处处有f (x)=0， 因此可取 (a,b) 内任意一点作为 而使得f (ξ)=0成立。
g(b) g(a)
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
由罗尔定理知, 至少存在一点
使
即
f (b)
f (a)

f ( )
.
g(b) g(a) g( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
Q f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) g(b) g(a) g( )(b a), (a , b)
费马（Fermat）引理
函数y=f(x)在N(x0, )有定义， y=f (x0)存在， f(x) f(x0) (f(x) f(x0))
定义3.1.1 导数等于零的点称为函数的驻点 （或稳定点、临界点)．
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
引理的直观意义: 可导函 数极值点处的切线平行于 x 轴.
2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件 均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全 满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下 例子：
第三章 导数的应用
例
x f (x) 0
0 x 1时 x 1时
(1) f ( x)在[0,1]上连续
(2) f ( x)在(0,1)内可导
的条件，同时想办法接近要证明的结论.
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
定理的证明
作辅助函数 ( x) f ( x) f (b) f (a) x.
ba 则函数(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件(1)(2) 又
(a) b f (a) a f (b) (b),
f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：至少存在一点x0∈(0,1), 使f (x0)=0 ， x0即为方程的小于1的正实根.
唯一性：设另有x1∈(0,1), x1 ≠x0,使f (x1)=0 因为f(x)在x1 ，x0之间满足罗尔定理的条件 所以至少存在一点ξ (在x1 ，x0之间),使得f (ξ)=0 但f (x)=5x4-5<0 , x∈(0,1),矛盾,所以为唯一实根.
ba
所以，由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点 ,使
( ) f ( ) f (b) f (a) 0
ba
即
f (a)- f (b)= f ()(b-a)
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
几点说明： 1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充 分不必要条件；
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
第三章 导数的应用
两个 不
一定相同
上面两式相比即得结论. 错!
第三章 导数的应用
几何意义：
第一节 微分中值定理
弦的斜率 切线斜率
x g(t)
y
y f (t) f (b)
注意： dy f (t) dx g(t)
f (a)
O g(a) g( )
g(b)x
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
内容小结
f (b)- f (a)= f ()(b-a)或 f (b) f (a) f ( )
ba
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
注意到, Rolle定理是Lagrange定理的特殊情况。
证明思想
构造辅助函数法
由于证明这个定理，目前只有Rolle定理可用，因
此想若能构造一个辅助函数 (x) ,使其满足Rolle定理
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a) 拉格朗日中值定理
g(x) x
罗尔定理
f (b) f (a)
g(x) x
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
第一节 微分中值定理
推论1 设 y=f (x) 在 [a, b] 上连续，若在(a, b)内 的导数恒为零，则在[a, b]上 f (x) 为常数.
f ( x) 0 f ( x) C
推论2 如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内的 导数处处相等，即f (x)=g(x) ，则这两个函数在(a,b)内 只相差一个常数，即f(x)-g(x)=C ．
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例4 证明：arcsin x arccos x π (1 ≤ x ≤ 1) 2
证明 设f (x)=arcsinx+arccosx,
则f (x)在[0,1]上连续，又
f '(x) 1 1 x2
由推论1知
f (x)=C
1 0
1 x2
又因为