等比数列第一课时优质课

……
a4
a1q3
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1 (n 1)d
an
a1qn-1
名称
等
差
数
列
等
比
数
列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
法2：
法
n 2 , a 2 a1 d
通项 公式
a3 a2 d
a4 a 3 d
a2 n 2, q a1
n 3
2
n2
小结
数
定
列
义
等 差 数 列
类比
等 比 数 列
n 2 , an an1 d
an n 2, q a n 1
q 0
公差（比） 通项公式 引申
公差d R
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
公比q 0
an a1q
n1 n m
分析：当n 1时，a1 S1 3 1 2； n n 1 当n 2时，an Sn Sn1 3 1 (3 1)
1
an 2 3n1 3为常数(n 2). n2 an1 2 3
当n 1时，也满足an 2 3 an 2 3 .
当n=1时，上式成立
an a1qn1 , n N*
等比数列的通项公式：
an a1 q
n1
（n∈N﹡,q≠0）
例1：在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n; 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q
an amq
猜一猜：
给你一张足够大的纸，假设其 厚度为0.1毫米，那么当你把 这张纸对折了51次的时候，所 达到的厚度有多少？
猜一猜
把一张纸折叠51次， 得到的大约是地球与 太阳之间的距离！
谢 谢 ！
已知等差数列｛an｝中，公 差为d，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
通项 公式 引申
an a1 (n 1)d
am a1 (m 1)d
an=a1qn-1 am=a1qm-1
an qnm am
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
如果一碗面由256根面条组 成,请问需要拉面师傅拉几 次才能得到?
拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不 竭。”即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，这 样每天剩下的部分都是前一天的一半。如果把“一尺之棰” 看成单位“1”，那么得到的数列是
1 1 1 1 1 1, , , , ,......, n 1 ,... 2 4 8 16 2
某种汽车购买时的价格是10万元，每年的折旧率是15%，这 辆车各年开始时的价值（单位：万元）分别是：
10，10×0.85,10×0.852 ,10×0.853,…
上面数列有什么共同特点 ? 从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。
2.4 等比数列
温故知新
1.等差数列的定义：如果一个数列从第 么这个数列叫做等差数列. 2.等差数列的通项公式 an = . 项起，每一项与它前面一项的 都等于 ，那
3. 等差中项的定义：如果三个数 a 、 G 、 b 成等差数列 ,那么 G 叫做 a 与 b 的等差中项. 则 . 4.要证明数列 {an } 是等差数列，只要证明，当 n 2 时， .
3
2 1
0
· ·
1
·
2 3 4 n
结论： 等比数列an 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点
例3：已知{an }的通项公式an 3n , 求证： {an }是 等比数列.
变式 : 数列{an }是等比数列.
an q(q是一个与n无关的非零常数） an 1
定义法，只要看
n
已知数列{an }的前n项和为Sn 3 1, 求证：
an 0
思考1：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？ 不能 能 (2)公比q能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1，-1，1，…，(-1)n+1 √ ； ②1，2，4，6…； ③ a ， a ， a ， …， a ；
×
× ④已知a1=2，an=3an+1 ； √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... ×
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的 比 等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫 做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
其数学表达式
an q(n 2) an1
(判断一个数列是否为等比 数列的依据)
或
q0
an1 * q(n N ) an
3 3
n
n 1
3 3
n 1
n1
3
n 1
23 ，
n1
n 1
当堂达标：
1.下面有四个结论： （1）由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比 数列； （2）常数列b,b,…b一定为等比数列； （3）等比数列{ an}中，若公比q=1，则此数列各项相等；
（4）等比数列中，各项与公比都不能为零。
⑥2a，2a，2a，…，2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？
非零的 常数列
思考2：
若a,G,b三个数成等比数列，那么这 三个数 有何恒等关系？ 结论：G2=ab
G叫做a,b的等比中项
求下列两组数的等比中项： (1) 4,9; (2) 4 3 , 4 3 .
(1) 6
(2) 13
1
小结
数
定
列
义
等 差 数 列
类比
等 比 数 列
n 2 , an an1 d
an n 2, q a n 1
q 0
公差（比） 通项公式 引申
公差d R
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
公比q 0
an a1q
n1 n m
a5= 3
n=5
16
a1= 3
6
q= 2
对于通项公式an a qn1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
解： an a1q
n 1
1 a 6 a1q 5 16 1 n 1 n 2 a 1 a 2 2 n 2 2 2 a 3 a 1q 2 q2
通项 公式
a3 a2 d
a4 a 3 d
a2 n 2, q a1
a3 q a2
n
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
…… a
a n 1
q
an a1 (n 1)d
当n=1时，上式成立
把这n-1个式子相乘，得：
an a1qn1
*
an a1 (n 1)d , n N
等比中项有两个
名称
等
差
数
列
等
比
数
列
an a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
an a1qn1
法1：不完全归纳法
a2 a1 d
通项 公式
a 3 a1 2d
a4 a1 3d
a2 q a 2 a1q a1 a 3 a1q2
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
可得 an amqnm n, m N*


例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
另解 : an am q 16 q 2 q 2
3 nm
n, m N
*
a6 a3q 63
an a3 q
n 3
22
此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数
与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高 考必考的思想方法，应熟悉并掌握。
名称
等
差
数
列
等
*
比
数
列
an am (n m)d n, m N


an am q n m n, m N *
已知等比数列｛an｝中，公 比为q，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
其中正确结论的个数是（ Ａ. 0 Ａ. 3n Ｂ. 1
C
） Ｃ. 2 Ｄ.3
2. 等比数列{ an}中,a1 4 ,公比q=3，则通项公式（ D ）
3n 1 3. 在等比数列{ an }中，a2 6, a5 48，则 a8
Ｂ. 4 n Ｃ.3
4n 1
Ｄ. 4
384
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4. 2 3与2+ 3的等比中项为：
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
……
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d , n N*
当n=1时，a1=a1 上式成立
名称
等
差
数
列
等
比
数
列
an a1 (n 1)d
法2：累加法 法2：
an a1qn1
累乘 法
n 2 , a 2 a1 d
an amq
思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
·
1 n an 2 2
7
6
5 4
可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。
y 2
x