解决问题的过程
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Mod(m,3)=2
（3）m被7除后余2；
S3：输出m.
m-Int(m/3)×3=2
建构数学
算 法 设 计 结 构 ： （ 流 程 图 ）
开始
开始
m 1
m m 1
m 1
m m 1
Mod (m,3) 2
Y
N
Mod (m,3) 2
Y Mod (m,3) 2且
Mod ( ( ,5) 3 Mod mm, 5) 且 3 Mod (m, 7) 2
伪 代 码
z 100 x y
z N 5 x 3 y 100 3 Y y y 1
输出
z If 5 x 3 y 100 Then 3 Print x,y,z
x x 1
x, y, z
End If End For
N
y 33 Y x 20 Y
结束
N
End For
早500多年
1801年
高斯的巨著《算术研究》
可验证得：m=23 韩信何以很快知道队伍的人数？
满足条件的m还有其它的解吗？
23+105 23+2×105 23+3×105…都是本问题的解.
建构数学
算法设计结构：（自然语言）
S1：输入一个初始值m；
S2：下述条件之一不满足，使m的值增加1后，
再返回S2，直到都满足为止： （1）m被3除后余2； （2）m被5除后余3；
z 5 x 3 y 100 的正整数解. 3 求关于x,y,z的不定方程组： x y z 100
根据上述算法思想，画出求解的流程图，并写出相应的代码.
流 程 图
开始
x 0
y 0
For x From 0 To 20
For y From 0 To 33 z←100-x-y
1.1计算机解决问题的过程
临潼中学 2011.09
问题情境
韩信点兵
孙子问题
背景展示
秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信将1500名将士与楚 王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也 死伤四五百人，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。当行至 一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土 飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩 信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命 令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结 果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信 马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我 们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服 自己的统帅，这一来更认为韩信是“神仙下凡”、“神机妙 算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步 步逼近，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
整除17余8，则N就我们需要的数，输出N，结束。 ③否则N不是，把N+1的值给N，继续判断，跳转到② S2：设计算法 S3：设计程序 S3：调试程序 S3：得出结果
实践操作
教师演示： 1、 在VB中演示程序的运行过程，展示最后的结果。 2、学生讨论 关于求解问题的方式
求解问题的方式 人工求解问题 用计算机求解问题
Y
30 m←m+1 40 End While 50 Print m
N
输出 m 结束
建构数学
m2
Excel VBA
While m Mod 3 < > 2 Or m Mod 5 < > 3 Or m Mod 7 < > 2 m=m+1 Wend MsgBox "不定方程的一个解为" & m 启用Word算法案例孙子问题等的工具VB宏
中国剩余定理
建构数学
算法设计思想：
首先,让m=2开始检验条件, 若三个条件中有一个不满足,
则m递增1,一直到同时满足三个条件为止.
如m=8，被3除余2，5除余3，7除余1，不符； 如m=9，被3除余0，不符；
何种结构能依次检索正整数？ 循环结构何时结束？
2333=23+22×105
如m=10，被3除余1，不符；
韩信原有1500名士兵，苦战一场死伤四五百。现剩余士兵应 在1000-1100之间，并且现存的士兵数应可以被105整除并且 余数是23.所以现存士兵数应该是105×10+23=1073人。
总结：
人解决问题过程是：观察、分析问题，收集信息，根据知识经验判断推理，解决问题。
问题延伸
例2：整除3余1，整除5余2，整除7余4，整除 13余6，整除17余8的最小自然数。
数学运用
我国古代劳动人民对不定方程的研究作出过重要贡献，其中《张丘建算经》中 的“百鸡问题”就是一个很有影响的不定方程问题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一 值钱三，鸡雏三值钱一.凡百钱买百只，问鸡翁、母、雏各几何？ 其意思是：一只公鸡的价格是5钱，一只母鸡的价格是3钱，三只小鸡的价格 是1钱.想用100钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只. 设x,y,z分别代表公鸡、母鸡、小鸡的只数，我们可以大致确定x,y,z的取值 范围：若100钱全买公鸡，则最多可买20只，即 x的范围是0~20；若100钱 全买母鸡，则最多可买20只，即y的取值范围是0~33；当x,y在各自的范围 确定后，则小鸡的只数z=100-x-y也就确定了.
N
Mod (m, 5) 3
Y
N
N
Y
Mod (m, 7) 2
输出 m
结束
N
Y
Mod (m, 7) 2 Y Y
输出 m 结束
N
建构数学
开始
算法设计结构：（流程图）
开始
m 1
m m 1
m2
Mod (m,3) 2且 Mod (m,5)N 3且 Mod (m, 7) 2
N
Mod (m,3) 2或 Mod (m,5) 3或 Mod (m, 7) 2
问题情境二
孙子问题（“物不知数”）
今有物不知数，三三数之剩二，
五五数之剩三，七七数之剩二，
问物几何？ 答曰：二十三.
——《孙子算经》
学生活动
三三数之剩二: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,…,3x+2 五五数之剩三: 3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58, …,5y+3
回顾小结
1．韩信点兵－孙子问题的求解算法
2．利用循环结构实现整数的搜索
课外作业
必做题 课本P31 选做题 课本P35 复习题13 习题4
中国剩余定理
4—5世纪
《孙子算经》中的孙子问题
1202年
意大利学者斐波那契的《算术》
南宋时期
秦九韶《数书九章》的“大衍求一术”
1734年
欧拉发表关于同余式的解法
问题分析
Baidu Nhomakorabea
韩信点兵
士兵排成3列纵队进行操练，结果有2人多余； 若排成5列纵队进行操练，结果有3人多余；
若排成7列纵队进行操练，结果有2人多余.
建立数学模型：
求能被3整除余2，能 被5整除余3，能被7 整除余2，且在1000 到1100之间的数。
讨论交流
提问：韩信是怎样推算也出他军队有多少人呢？ S1：确定最小满足除3余2下整数 2 S2：依次加3得：2，5，8，11，14，17，20，23，26 S3在上列娄中确定最小的满足除5余3的正整数8 S4：依次加15得8，23，38，53，68 S5：在第4步中找除7余2的最小自然数是：23
相同点
不同点
课堂小结
计算机解决问题的一般过程： 分析问题： 构造模型 设计算法： “如何做” 精确步骤 编写程序：选定程序设计语言、掌握技巧 调试程序：查找改正程序错误 编译错误、执行错误、逻辑错误 验证结果：
作业检查
1、设计一个算法，求三数中的最大数。
2、设计一个算法，求实数A的绝对值。
活动1：猜想这个数可能在哪个范围内。
活动2：要算出结果，你会想到借助什么工具。 活动3：怎样借助计算机来完成?
核心问题
计算机解决问题的一般过程
S1：分析问题（找出已知和未知，列出之间的关系，写出解决 步骤）
①设所求的数为N。令N＝1 ② 如果N整除整除3余1，整除5余2，整除7余4，整除13余6，
七七数之剩二:
2,9,16,23,30,37,44,51,58,65,72,79, …,7z+2
学生活动
韩信点兵、孙子问题相当于
m 3x 2 求关于x,y,z的不定方程组： m 5 y 3 的正整数解. m 7 z 2
“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等等
m m 1
Y
输出 m
结束
Y
N
输出 m 结束
建构数学
开始
算法设计语句：（伪代码） 10 m←2 20 While Mod(m,3)≠2,
m2
Mod (m,3) 2或 Mod (m,5) 3或 Mod (m, 7) 2
m m 1
或 或
Mod(m,5)≠3, Mod(m,7)≠2
（3）m被7除后余2；
S3：输出m.
m-Int(m/3)×3=2
建构数学
算 法 设 计 结 构 ： （ 流 程 图 ）
开始
开始
m 1
m m 1
m 1
m m 1
Mod (m,3) 2
Y
N
Mod (m,3) 2
Y Mod (m,3) 2且
Mod ( ( ,5) 3 Mod mm, 5) 且 3 Mod (m, 7) 2
伪 代 码
z 100 x y
z N 5 x 3 y 100 3 Y y y 1
输出
z If 5 x 3 y 100 Then 3 Print x,y,z
x x 1
x, y, z
End If End For
N
y 33 Y x 20 Y
结束
N
End For
早500多年
1801年
高斯的巨著《算术研究》
可验证得：m=23 韩信何以很快知道队伍的人数？
满足条件的m还有其它的解吗？
23+105 23+2×105 23+3×105…都是本问题的解.
建构数学
算法设计结构：（自然语言）
S1：输入一个初始值m；
S2：下述条件之一不满足，使m的值增加1后，
再返回S2，直到都满足为止： （1）m被3除后余2； （2）m被5除后余3；
z 5 x 3 y 100 的正整数解. 3 求关于x,y,z的不定方程组： x y z 100
根据上述算法思想，画出求解的流程图，并写出相应的代码.
流 程 图
开始
x 0
y 0
For x From 0 To 20
For y From 0 To 33 z←100-x-y
1.1计算机解决问题的过程
临潼中学 2011.09
问题情境
韩信点兵
孙子问题
背景展示
秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信将1500名将士与楚 王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也 死伤四五百人，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。当行至 一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土 飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩 信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命 令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结 果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信 马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我 们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服 自己的统帅，这一来更认为韩信是“神仙下凡”、“神机妙 算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步 步逼近，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
整除17余8，则N就我们需要的数，输出N，结束。 ③否则N不是，把N+1的值给N，继续判断，跳转到② S2：设计算法 S3：设计程序 S3：调试程序 S3：得出结果
实践操作
教师演示： 1、 在VB中演示程序的运行过程，展示最后的结果。 2、学生讨论 关于求解问题的方式
求解问题的方式 人工求解问题 用计算机求解问题
Y
30 m←m+1 40 End While 50 Print m
N
输出 m 结束
建构数学
m2
Excel VBA
While m Mod 3 < > 2 Or m Mod 5 < > 3 Or m Mod 7 < > 2 m=m+1 Wend MsgBox "不定方程的一个解为" & m 启用Word算法案例孙子问题等的工具VB宏
中国剩余定理
建构数学
算法设计思想：
首先,让m=2开始检验条件, 若三个条件中有一个不满足,
则m递增1,一直到同时满足三个条件为止.
如m=8，被3除余2，5除余3，7除余1，不符； 如m=9，被3除余0，不符；
何种结构能依次检索正整数？ 循环结构何时结束？
2333=23+22×105
如m=10，被3除余1，不符；
韩信原有1500名士兵，苦战一场死伤四五百。现剩余士兵应 在1000-1100之间，并且现存的士兵数应可以被105整除并且 余数是23.所以现存士兵数应该是105×10+23=1073人。
总结：
人解决问题过程是：观察、分析问题，收集信息，根据知识经验判断推理，解决问题。
问题延伸
例2：整除3余1，整除5余2，整除7余4，整除 13余6，整除17余8的最小自然数。
数学运用
我国古代劳动人民对不定方程的研究作出过重要贡献，其中《张丘建算经》中 的“百鸡问题”就是一个很有影响的不定方程问题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一 值钱三，鸡雏三值钱一.凡百钱买百只，问鸡翁、母、雏各几何？ 其意思是：一只公鸡的价格是5钱，一只母鸡的价格是3钱，三只小鸡的价格 是1钱.想用100钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只. 设x,y,z分别代表公鸡、母鸡、小鸡的只数，我们可以大致确定x,y,z的取值 范围：若100钱全买公鸡，则最多可买20只，即 x的范围是0~20；若100钱 全买母鸡，则最多可买20只，即y的取值范围是0~33；当x,y在各自的范围 确定后，则小鸡的只数z=100-x-y也就确定了.
N
Mod (m, 5) 3
Y
N
N
Y
Mod (m, 7) 2
输出 m
结束
N
Y
Mod (m, 7) 2 Y Y
输出 m 结束
N
建构数学
开始
算法设计结构：（流程图）
开始
m 1
m m 1
m2
Mod (m,3) 2且 Mod (m,5)N 3且 Mod (m, 7) 2
N
Mod (m,3) 2或 Mod (m,5) 3或 Mod (m, 7) 2
问题情境二
孙子问题（“物不知数”）
今有物不知数，三三数之剩二，
五五数之剩三，七七数之剩二，
问物几何？ 答曰：二十三.
——《孙子算经》
学生活动
三三数之剩二: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,…,3x+2 五五数之剩三: 3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58, …,5y+3
回顾小结
1．韩信点兵－孙子问题的求解算法
2．利用循环结构实现整数的搜索
课外作业
必做题 课本P31 选做题 课本P35 复习题13 习题4
中国剩余定理
4—5世纪
《孙子算经》中的孙子问题
1202年
意大利学者斐波那契的《算术》
南宋时期
秦九韶《数书九章》的“大衍求一术”
1734年
欧拉发表关于同余式的解法
问题分析
Baidu Nhomakorabea
韩信点兵
士兵排成3列纵队进行操练，结果有2人多余； 若排成5列纵队进行操练，结果有3人多余；
若排成7列纵队进行操练，结果有2人多余.
建立数学模型：
求能被3整除余2，能 被5整除余3，能被7 整除余2，且在1000 到1100之间的数。
讨论交流
提问：韩信是怎样推算也出他军队有多少人呢？ S1：确定最小满足除3余2下整数 2 S2：依次加3得：2，5，8，11，14，17，20，23，26 S3在上列娄中确定最小的满足除5余3的正整数8 S4：依次加15得8，23，38，53，68 S5：在第4步中找除7余2的最小自然数是：23
相同点
不同点
课堂小结
计算机解决问题的一般过程： 分析问题： 构造模型 设计算法： “如何做” 精确步骤 编写程序：选定程序设计语言、掌握技巧 调试程序：查找改正程序错误 编译错误、执行错误、逻辑错误 验证结果：
作业检查
1、设计一个算法，求三数中的最大数。
2、设计一个算法，求实数A的绝对值。
活动1：猜想这个数可能在哪个范围内。
活动2：要算出结果，你会想到借助什么工具。 活动3：怎样借助计算机来完成?
核心问题
计算机解决问题的一般过程
S1：分析问题（找出已知和未知，列出之间的关系，写出解决 步骤）
①设所求的数为N。令N＝1 ② 如果N整除整除3余1，整除5余2，整除7余4，整除13余6，
七七数之剩二:
2,9,16,23,30,37,44,51,58,65,72,79, …,7z+2
学生活动
韩信点兵、孙子问题相当于
m 3x 2 求关于x,y,z的不定方程组： m 5 y 3 的正整数解. m 7 z 2
“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等等
m m 1
Y
输出 m
结束
Y
N
输出 m 结束
建构数学
开始
算法设计语句：（伪代码） 10 m←2 20 While Mod(m,3)≠2,
m2
Mod (m,3) 2或 Mod (m,5) 3或 Mod (m, 7) 2
m m 1
或 或
Mod(m,5)≠3, Mod(m,7)≠2