旋转体的体积计算
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(
0
4 y )2 dy
1
4 ydy 4
y2
1
2
0
2
0
2
2
2
例4 求星形线 x3 y3 a3 (a 0) 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体.积
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x
y
y f (x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区
o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx b y2dx
a
a
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
从而
V
b
A( x)dx.
a
例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
R
底半圆方程为
o
y
y R2 x2
垂直于 x轴的截面为直角三角形 R
x2 y2 R2
x
截面面积 A( x) 1 y y tan 1 (R2 x2 )tan
3
同 理 得 椭 圆 绕y轴 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的
体积为V
b b
a2 b2
(b2
y2 )dy
4 a2b.
3
练习
求摆线
x a(t sin t)
y
a(1
cos t )
的一拱与
y
= 0所围成的
图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积.
解 绕 x轴旋转的旋转体体积 y
0
练习
求以抛物 线y 4 x2及y 0所围成的 图形为底而，垂
直于y轴的所有截面 均是高为2的矩形的立体 的体积.
解 设Biblioteka Baidu面面积为 A( y) y
A( y) 2 4 y 2
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
4b
a2 y2dy 8b a a2 y2 dy 2a2b 2
a
0
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设一立体位于 过点x=a, x=b y 且垂直于 x 轴的两平面之间，
A( x)
用垂直于 x 轴的任一平面截
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
2 16
2 x 4dy 2
0
16
x5 5
2
o
8 5
y2 4x
x
0
绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量
Vy
1
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
Vx
2a
y 2dx
0
o
2a x
2 a2(1 cos t)2d[a(t sin t)] 0
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3
2
(1
3cos t
3 cos2
t
cos3
t )dt
52a3 .
旋转体的体积计算
• 内容提要 1.旋转体的体积； 2.平行截面面积为已知的立体的体积.
教学要求 熟练掌握应用元素法求体积的方法。
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直
线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
此立体所得的截面积 A(x)
是 x 的已知函数，
求这个立体的体积V . 用微元法：
o a x x+dx b x
取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间 [x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
作体积微元：以A(x) 为底，dx 为高作柱体，
体积微元为dV A( x)dx,
V
a [ f ( x)]2dx
a
2
a3
2
x3
3
dx
32
a3 .
a
a
105
4
例5 求圆 ( x a)2 y2 a2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
y
成的旋转体（环体）的体积
C
a
解 右半圆弧方程为 x x1( y) b a2 y2
c
c
作业:P118. 1(1)(3)，2
练习
求 由 椭 圆x2 a2
y2 b2
1,绕x轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体积.
解
上 半 椭 圆 的 方 程 为 ：y2
b2 a2
(a2
x2)
由公式知：V a y2dx a
a a
b a
2 2
(a
2
x2 )dx
4 ab2 .
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV [ x1( y)]2 dy [ x2( y)]2 dy [ x12 ( y) x22 ( y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
2
2
立体体积
V
R
R
A( x)dx
1 2
R (R2 x2 ) tan dx
R
2 R3 tan. 3
小结
V b [ f ( x)]2 dx by 2dx
a
a
y
d
y
y f (x)
o
x x dx
x ( y) c
x
o
x
V d [( y)]2dy d x 2dy
0
4 y )2 dy
1
4 ydy 4
y2
1
2
0
2
0
2
2
2
例4 求星形线 x3 y3 a3 (a 0) 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体.积
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x
y
y f (x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区
o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx b y2dx
a
a
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
从而
V
b
A( x)dx.
a
例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
R
底半圆方程为
o
y
y R2 x2
垂直于 x轴的截面为直角三角形 R
x2 y2 R2
x
截面面积 A( x) 1 y y tan 1 (R2 x2 )tan
3
同 理 得 椭 圆 绕y轴 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的
体积为V
b b
a2 b2
(b2
y2 )dy
4 a2b.
3
练习
求摆线
x a(t sin t)
y
a(1
cos t )
的一拱与
y
= 0所围成的
图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积.
解 绕 x轴旋转的旋转体体积 y
0
练习
求以抛物 线y 4 x2及y 0所围成的 图形为底而，垂
直于y轴的所有截面 均是高为2的矩形的立体 的体积.
解 设Biblioteka Baidu面面积为 A( y) y
A( y) 2 4 y 2
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
4b
a2 y2dy 8b a a2 y2 dy 2a2b 2
a
0
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设一立体位于 过点x=a, x=b y 且垂直于 x 轴的两平面之间，
A( x)
用垂直于 x 轴的任一平面截
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
2 16
2 x 4dy 2
0
16
x5 5
2
o
8 5
y2 4x
x
0
绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量
Vy
1
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
Vx
2a
y 2dx
0
o
2a x
2 a2(1 cos t)2d[a(t sin t)] 0
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3
2
(1
3cos t
3 cos2
t
cos3
t )dt
52a3 .
旋转体的体积计算
• 内容提要 1.旋转体的体积； 2.平行截面面积为已知的立体的体积.
教学要求 熟练掌握应用元素法求体积的方法。
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直
线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
此立体所得的截面积 A(x)
是 x 的已知函数，
求这个立体的体积V . 用微元法：
o a x x+dx b x
取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间 [x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
作体积微元：以A(x) 为底，dx 为高作柱体，
体积微元为dV A( x)dx,
V
a [ f ( x)]2dx
a
2
a3
2
x3
3
dx
32
a3 .
a
a
105
4
例5 求圆 ( x a)2 y2 a2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
y
成的旋转体（环体）的体积
C
a
解 右半圆弧方程为 x x1( y) b a2 y2
c
c
作业:P118. 1(1)(3)，2
练习
求 由 椭 圆x2 a2
y2 b2
1,绕x轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体积.
解
上 半 椭 圆 的 方 程 为 ：y2
b2 a2
(a2
x2)
由公式知：V a y2dx a
a a
b a
2 2
(a
2
x2 )dx
4 ab2 .
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV [ x1( y)]2 dy [ x2( y)]2 dy [ x12 ( y) x22 ( y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
2
2
立体体积
V
R
R
A( x)dx
1 2
R (R2 x2 ) tan dx
R
2 R3 tan. 3
小结
V b [ f ( x)]2 dx by 2dx
a
a
y
d
y
y f (x)
o
x x dx
x ( y) c
x
o
x
V d [( y)]2dy d x 2dy