圆锥曲线简介

圆锥曲线简介

圆锥曲线

圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率e）的点的集合是圆锥曲线。对于0 < e < 1得到椭圆，对于e = 1得到抛物线，对于e > 1得到双曲线。

圆锥曲线的类型

圆锥曲

线方程离心率（e）半焦距（c）

半正焦弦

（ℓ）

焦点准线距离

（p）

圆

椭圆

抛物线

双曲线

圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线

椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质

椭圆（Ellipse)

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线（Parabola)

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线（Hyperbola)

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。

离心率

有固定焦点F和准线的椭圆 (e=1/2)、抛物线 (e=1)和双曲线 (e=2)。

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是，这里的是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是。

在圆的情况下，e = 0且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L 的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的, 越接近于1，半短轴就越小。

笛卡尔坐标

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式

有着参数，和不得皆等于

。

如果，方程表示椭圆（除非圆锥曲线退化了，例如

）；

∙如果且且,方程表示圆；

∙如果，方程表示抛物线；

∙如果，方程表示双曲线；

∙如果还有，方程表示直角双曲线。

注意这里的和就是多项式系数，不是前面定义的半长/短轴的长度。

通过坐标变换这些方程可以变为标准形式：

圆椭圆抛物线双曲线

标准方程

或

参数方程

极坐标[编辑]

椭圆的半正焦弦

圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为l，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴a，和半短轴b，通过公式或。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程

，

或者，

，

如上，对于e = 0得到一个圆，对于0 < e < 1得到椭圆，对于e = 1得到抛物线，对于e > 1得到双曲线。

齐次坐标[编辑]

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

或表示为矩阵：

矩阵叫做“圆锥曲线矩阵”。

叫做圆锥曲线的行列式。如果Δ = 0则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线退化为两相交直线：

。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）:

。

被称为圆锥曲线的判别式。如果δ = 0则圆锥曲线是抛物线，如果δ<0则是双曲线，如果δ>0则是椭圆。如果δ>0且A1 = A2，圆锥曲线是圆；如果δ<0且A1 = -A2，它是直角双曲线，。可以证明在复射影平面中，两个

圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1

单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根> 1的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是(1,i,0)和（1,-i,0），则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线不是椭圆不是双曲线。