五点作图法求三角函数解析式教师版

五点作图法求三角函数解析式教师版

例1．用“五点作图法”画函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象时，某同学列表并填入的数据如下：

（1）求x1、x2的值及f（x）的表达式；

（2）已知函数g（x）是将函数f（x）的图象向右平移个单位所得，若

，求g（x0）的值．

【分析】（1）根据五点法作图，求出A，ω和φ的值即可得到结论

（2）求出g（x）解析式，结合f（x0）＝1的值，求出x0＝，代入求解即可

【解答】解：（1）函数的周期T＝﹣＝π，

即，得ω＝2，

函数的最大值为2，即A＝2，

则f（x）＝2sin（2x+φ），

由五点对应法，得2×+φ＝0，得φ＝﹣，

则f（x）＝2sin（2x﹣），

2x1﹣＝，得x1＝，由2x2﹣＝，得x2＝．

（2）g（x）是将函数f（x）的图象向右平移个单位所得，

即g（x）＝2sin[2（x﹣）﹣]＝2sin（2x﹣）＝﹣2cos2x，

若，则2sin（2x0﹣）＝1，

即sin（2x0﹣）＝，

∵0＜x0＜，∴﹣＜2x0﹣＜，

∴2x0﹣＝，得x0＝，

即g（x0）＝g（）＝﹣2cos（2×）＝﹣2cos＝0．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据五点作图法求出函数解析式以及利用三角函数的变换关系是解决本题的关键．

练习1．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在同一个周期内，当时，y有最大值4，当时，y有最小值2．

（1）求f（x）解析式；

（2）求f（x）的递增区间；

（3）若x∈[0，]，求g（x）＝f（x+）﹣4λcos x的最小值．

【分析】（1）由，可求A，h，利用周期公式可求ω，由（，4）为五点作图法第二点，可求φ，可求f（x）解析式．

（2）由，解得单调递增间．

（3）由（1）知可求g（x）的解析式，由，可得cos x∈[0，1]，根据λ的范围分类讨论即可求得最小值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵由，得A＝1，h＝3，

∴＝，可得T＝π，ω＝2，

∵由（，4）为五点作图法第二点，，

∴f（x）＝sin（2x+）+3，………………………（3分）

（2）由，

得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

可得单调递增间为：．………………………（6分）（3）由（1）知，

所以：g（x）＝f（x+）﹣4λcos x

＝sin（2x+）+3﹣4λcos x

＝cos2x﹣4λcos x+3

＝2cos2x﹣4λcos x+2

＝2（cos x﹣λ）2﹣2λ2+2，

∵，

∴cos x∈[0，1]………………………（9分）

①当λ≤0时，当且仅当cos x＝0时，g（x）有最小值2．

②当0＜λ＜1时，当且仅当cos x＝λ时，g（x）有最小值﹣2λ2+2．

③当λ≥1时，当且仅当cos x＝1时，g（x）有最小值4﹣4λ．

综上所述：．………………………（12分）

【点评】本题考查的知识点是正弦函数解析式的求法，正弦函数的单调性，考查了分类讨论思想，考查了函数的性质的应用，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键，属于中档题．

2．某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（1）请将上表数据补充完整；

函数f（x）的解析式为f（x）＝3sin（2x﹣）（直接写出结果即可）；

（2）根据表格中的数据作出f（x）一个周期的图象；

（3）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

【分析】（1）由题意补充完整表格，写出f（x）的解析式；

（2）根据表格中的数据作出f（x）一个周期的图象即可；

（3）求出函数f（x）在区间上的最大值和最小值即可．

【解答】解：（1）由题意，补充完整下表是；

写出函数f（x）的解析式为f（x）＝3sin（2x﹣）；

（2）根据表格中的数据作出f（x）一个周期的图象，如图所示；

（3）函数f（x）＝3sin（2x﹣），x∈[﹣，0]，2x﹣∈[﹣，﹣]；

∴x＝﹣时，f（x）在区间上取得最大值为﹣，

x＝﹣时，f（x）取得最小值为﹣3．

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．