分块矩阵的方法,技巧与应用

分块矩阵的方法、技巧与应用

内容摘要有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的

一样。特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。这就是矩阵的分块。设A 是一个m*n 矩阵

11

121212221

2

n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

用若干横线将它分成s 块，若干竖线将它分成r 块,于是有*r s 的分块矩阵

1112121

2121

2

s s r r rs A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

其中

ij A 表示一个矩阵。

关键词矩阵，分块矩阵，逆矩阵，准对角矩阵

1. 导言

在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧，就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。

2.

1.分块矩阵的简介

矩阵分块为矩阵运算带来便利，最常用的矩阵分块是2*2块

A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭

， 其中A 为*m m 矩阵块，D 为*n n 矩阵块。 例:在矩阵

2

1210000010012101

10

1E A A E ⎛⎫ ⎪

⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭

中,2E 代表2级单位矩阵,而

11211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0000O ⎛⎫= ⎪⎝⎭

在矩阵

11

1221221032120124111

15

3B B B B B ⎛⎫ ⎪

-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭

中,

111012B ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

,123201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,

211011B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ ,224120B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

.

在计算AB 时,把A ,B 都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是

2

11

1211

12

12212211121

112220E B B B B AB A E B B A B B A B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==

⎪⎪

⎪

++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

其中

11121121010111211341024021111A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+=+ ⎪⎪ ⎪

---⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11222123241110

12030411133205

3A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

把上述计算结果作为小块的元素代入,得到

1032120124011

15

3AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭

通常,矩阵分块可以简化矩阵的运算，实现运算的优化。下面具体讨论矩阵分

块方法。

2.分块矩阵的加法和乘法

设()

(),ik sn kj nm

A a B

b ==,把,A B 分成一些小矩阵:

1

21111212212221

2

=

l

l l t t t tl n n n s A A A s A A A A s A A A ⎛⎫ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎝⎭

, (1)

1

2111

1212212221

2B=

r

r r l t t tr m m m n B B B n B B B n B B B ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

, (2)

其中每个

ij

A 是

*i j

s n 小矩阵.于是有

1211112122122212C=

r

r r t t t tr m m m s C C C s C C C s C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

, (3) 其中

()1122110011,2,,;1,2,,r .

pq p q p q pl lq l

pk kq k C A B A B A B A B p t q =⎛⎫

=+++ ⎪

⎝⎭===∑

再讨论矩阵线性运算的分块加法. 设()

(),ik sn kj nm

A a

B b ==,把,A B 分成一些小

矩阵:

1

211

12112122221

2

=

t

t t r r rt r n n n A A A m A A A m A A A A m ⎛⎫ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎝⎭

1

2

11

12112122221

2B=

t

r r t t tr r n n n B B B m B B B m B B B m ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

其中每个ij A 是*i j s n 小矩阵.设,,k l P ∀∈有

12

11121121222212C=kA+B=t

l l t t tl r n n n C C C m C C C m l C C C m ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

， (4)

其中，

()1,2,,;1,2,,.

pq pq pq C kA lB p r q t =+==

注意:在分块(1),(2)中矩阵A 的列的分发必须与矩阵B 的行的分发相同。 可以看到，分块矩阵有许多方便之处。常常在分块之后，矩阵间的相互关系会看的更清楚。

3.利用矩阵分块求逆矩阵

11111111111

1

0000k

k kk k

r r rk

r rr a a a a A O D c c b b C B c c b c ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪⎛⎫

==

⎪ ⎪⎝⎭

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

其中，,A B 分别是k 级和r 级可逆矩阵，C 是*r k 矩阵，0是*k r 零矩阵. 首先，因为

D A B =，