基本不等式中“1的妙用”

基本不等式中“1的妙用”

一、考法解法

命题特点分析

此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式ax by +，一个是分式

m n x y

+，当然会在此基础上进行变形。 解题方法荟萃 主要是凑出可以使用基本不等式的形式：

y x x y μλ+的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。 二、典型题剖析

例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y

+的最小值； （2）已知,x y R *

∈，23x y +=，求12x y +的最小值； （3）已知,x y R *∈，322x y

+=，求62x y +的最小值； （4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值；

【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。 【答案】（1）121222(2)()145249x y x y x y x y y x

+=++=+++≥+= 当且仅当22x y y x =即13x y ==时取等号 （2）121121221(2)()145243333

x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（） 当且仅当22x y y x =即13x y ==时取等号 （3）1323662=()(62)9218622y x x y x y x y x y

+++=+++≥+ 当且仅当

63x y y x =即32+222x y ==时取等号

（4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x

+++≥ 当且仅当4x y y x

=即24x y ==时取等号 例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求

1213x y +++的最小值； （2）已知,x y R *

∈，1x y +=，求22

11x y x y +++的最小值； （3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223

x y y +++的最小值； （4）已知,x y R *

∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值； 【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。

【答案】

（1）整式变形成113x y +++=，

12112132(1)22(13)()(12)1135133133

y x x y x y x y x y +++=++++=+++≥+++++++ 当且仅当32(1)=13

y x x y ++++取等号 （2）2222(1)2(1)1(1)2(1)1111212111111

x y x x y y x y x y x y x y +-+++-+++=+=+-+++-+++++++ 11111

x y =+-++ 然后求当1x y +=时，代数式1111

x y +++的最小值 （3）整式变形成235x y y +++=，求代数式

1223x y y +++最小值

（4）假设分式变形为2()(3)

x y y λ

μλμ+++的形式，保证x 的系数与y 的系数之比等于整式中的系数之比，即2==2+3λλμλμ，，1,=2μλ∴=，分式变形为22223

x y y +++ 整式变形为2234x y y +++=，然后求22223

x y y +++的最小值。 例3：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求

12x x y +的最小值； （2）已知()0,1x ∈，，求121x x

+-的最小值； 【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是2x y

的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。

【解析】

（1）12221122x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+当且仅当2x y y x

=时取等号 （2）因为(1)1x x +-=，然后求

121x x +-的最小值 三、达标与拓展

1．若正数x ，y 满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）

A ．524

B ．5

28 C ．5 D ．6 【解析】 正数x ，y 满足xy y x 53=+，

15153=+∴y x ， ()553312251353512545943515343=⋅+≥+++=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+∴y x x y y x x y y x y x y x ， 当且仅当y

x x y 53512=时取等号即y x 43+的最小值是5【答案】C. 2. 已知,x y 均为正实数，且32x y +=，则

2x y xy +的最小值为 ．

【解析】试题分析：323272721217(3)()62222

y x y x x y x y x y x y xy x y +⋅+++=++⋅=≥=+， 当且仅当3232x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩即26122323x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩时，等号成立，即2x y xy +的最小值是762+． 3. 设00，a b >>，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b

+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14

【【解析】因为3是3a 与3b 的等比中项，所以1a b +=

1111()()2224a b a b a b a b b a

+=++=++≥+=【答案】B ． 4．已知的最小值是则

b a b a b a 3a 1b 21,1,0,0+++=+>>__________.

【解析】令，（（)3a )a 2a b y b x b +++=+解得5

152==

y x ， ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+++b b a b a b a a b a 3a 121)3(51252b 3121

()())3(5)2(2)2(53253b 3a 5b a 2225353b a b a b a b a b a b a ++⋅+++≥++++++=）（5223+=

当()()）

（b 3a 5b a 22253++=++b a b a 即())2(23a b a b +=+取等号. 5. 已知实数x ，y 满足13422=++xy y x ，则y x +2的最大值为 ．

【解析】 实数x ，y 满足1342

2=++xy y x ， xy xy y x +=++∴14422，()2

22221122112⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅⋅+=+∴y x y x y x ， 解关于y x +2的不等式可得71422≤+y x ，故答案为：7

142． 6. 已知0a >，0b >，21a b +=，则

11343a b a b +++取到最小值为 ．