理论力学第二章质点组力学

因无外力作用，所以 mrC 0，即质心作惯性运动。 假设内力只与相对坐标和相对速度有关，则两体问题 就约化为用相对坐标描写的一体问题。由惯性系中两 质点的运动方程：m1r1 f12，m2 r2 f 21＝－f12 易得 1 1 r12 r1－r2＝（ ＋ ）f12 m1 m2 m1m2 1 1 1 ＝ ＋ 或 m12＝ m12 m1 m2 m1＋m2 （相对坐标的运动方程）
第二章 质点组力学
§2.1 质点组 §2.2 动量定理与动量守恒律 §2.3 动量矩定理与动量矩守恒律 §2.4 动能定理与机械能守恒律 §2.5 两体问题 §2.6 质心坐标系与实验室坐标系 §2.7 变质量物体的运动 §2.8 维里定理
§2.1 质点组
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1
引入折合质量m12 , 使 则 m12 r12＝f12
它表明：在m2平动的参考系（一般为非惯性系）中，质 点m1的运动好像一个质量为m12的质点在惯性系中的运动。
解出rC 和r12的运动规律后，根据定义可以反解出r1和r2 的运动规律： m2 m1 r1＝rC＋ r12，r2＝rC－ r12 m1＋m2 m1＋m2 1 1 1 2 1 2 2 2 惯性系中的总动能 T m1v1 m2 v2 mvC m12v12 2 2 2 2 在质心系中，运动规律为 m2 m1 r1 r1 rC r12，r2 r2－rC＝－ r12 m1＋m2 m1＋m2 系统在质心系中的总动能为 1 1 1 2 2 2 m2v2 m12v12 T m1v1 2 2 2
i 1
i iz
Fiz
i 1
e
2. 质心运动定理
d ri e mi Fi 2 dt i 1 i 1
引入质心
n
2
n
d 2 mi ri
i 1
n
dt 2
i i
Fi e
i 1
n
rc
m r
i 1 n
n
m
i 1

m r
i 1
n
i i
m
2 x 2 y 1 2
vx m tan 1 vy M
v V,
tan
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
1. 对固定点O的动量矩定理
d ri e i mi Fi Fi 2 dt
2
d 2 ri e i ri mi 2 ri Fi ri Fi dt
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.5
0
0.5
1
1. 质点组的内力和外力 内力和为零
F
i
fij 0
i 1 j 1 j i
n
n
§2.2 动量定理与动量守恒律
1. 质点组的动量定理
y
d ri e i mi Fi Fi 2 dt
dri d e i ri mi ri Fi ri Fi dt dt
n
dri d 2 ri d ri mi ri mi 2 dt dt dt
n dri n d e i 对于质点组： r m r F r F i i i i i i dt i 1 i 1 dt i 1






3. 对质心的动量矩定理
对随质心平动的参照系mi的动力学方程为
d 2 ri e i mi Fi Fi mi rC 2 dt


质点
质心
d 2 ri e i mi F F mi rC i i 2 dt


n n d n e r m r r F rC mi ri i i i i i dt i 1 i 1 i 1
2
mi
Fi
i
n n d 2 ri e i m F F i i i 2 dt i 1 i 1 i 1 n
ri
F i
O
e
x
d ri e mi 2 Fi dt i 1 i 1
n
2
n
n d n dri d n e mi mi vi Fi dt i 1 dt dt i 1 i 1
J mvr mvr 力矩为 M mgr mgr
由动量矩定理，得
d mv mv r dt m m gr
即
ma ma m m g 2 2 a 2 s / t , a 2 s / t 若t为共同到达时间，则
m r
i 1 i i
n
1 2 1 n 2 T mrc mi ri 2 2 i 1
质心动 能
相对质 心动能
m r mr 0
i 1 i i C
n
4. 对质心的动能定理 d 2 ri e i mi F F mi rC i i 2 dt


2 n 1 n n e i d mi ri Fi dri Fi dri 2 i 1 i 1 i 1
与相对固定点的动能定理形式相同
例 质量为m1及m2 的两自由质点互相以力吸引，引力与 其质量成正比，与距离平方成反比，比例常数为k。开始时， 两质点皆处于静止状态，其间距离为a。试求两质点的距离为 a/2时两质点的速度。 解 无外力，动量守恒 m1v1 m2v2 0 万有引力为保守力，机械能守恒
i 1
n
n
e
0
0
F iy
i 1
e
pz mvcz 恒矢量
F iz
i 1
n
e
0
[例] 大炮置于无摩擦的铁轨上，炮身质量为M，炮弹质量 2 为m，炮筒与水平面夹角α ，炮弹以相对于炮口的速度 V射出， 1 v和炮身反冲速率U。 求炮弹离炮时对地面的速度 [解] 水平方向的动量可看作近似守恒，有


2 d 2 ri dr 1 i mi dr m i i dt 2 2 dt
2 n n 1 n n e i d mi ri Fi dri Fi dri mi rc dr 2 i 1 i 1 i 1 i 1
理论力学
电子科技大学物理电子学院 付传技
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第二章 质点组力学
质点组是物理学中又一个理想模型，由于物体总 是可以看作是质点的组合，所以它比质点模型更接近 实际，但它要考虑质点间的相互作用，牵涉多个微分 方程的联立求解，很复杂。因此要研究质点组运动时 的一些整体性质，在这里运动定理和守恒定律比质点 力学更能发挥作用。 我们先引进质心概念，在建立动量、角动量和能 量定理后，研究两体运动，最后给出具有统计性质的 维里定理。


n d n e r m r r F i i i i i dt i 1 i 1




质心坐 标
dJ M dt
质心是动点，动量矩定理与对定点一样，原因何在？
例题 问需多少时间，两人同时到达？ 解 A、B对过滑轮中心轴的动量矩为
dri n d n e ri mi ri Fi dt i 1 dt i 1
dJ M dt
内力矩 为零
分量形式
n d n e e mi yi zi zi y yi Fiz zi Fiy dt i 1 i 1 n d n e e mi zi xi xi z zi Fix xi Fiz dt i 1 i 1 n d n e e mi xi yi yi xi xi Fiy yi Fix dt i 1 i 1
积分能得同样结果
§2.5 两体问题
两体问题是指由两个质点构成的封闭体系的运动。
两体问题的约化： 对由质点m1和m2构成的封闭系，可引入质心坐标与相对坐标。 m1r1 m2 r2 rC＝ ，r12 r1 r2 m1 m2 代替坐标r1和r2，它们分别反映了质心的运动和m1在以m2为原点 的平动参考系中的运动。
i 1 i 1
n
n
e
dri Fi dri
i i 1
n
注意：1）质点的位矢都以固定点O为起点； 2）内力的功一般不为零。
1 f i
12
dWi f12 dr1 f 21 dr2
i i i f 21 d r2 r1 f 21 dr f12 dr
i
得到
n d rc dvc m 2 m Fi e dt dt i 1
2
质心运动定 理
2. 质点组的质心
m1 x1
m2 x2
m3 x3
m4 x4
x
m3 m1 m2 m4 xc x1 x2 x3 x4 M M M M m1 m2 rc r1 r2 M M
y
m1r1
t 2 ms ms m m g
解得
§2.3 质点组的动能定理和机械能守恒定律
1. 质点组的动能定理
(e) 1 2 (i ) d ( mi ri ) dTi Fi dri Fi dri 2
求和
dT dTi Fi
动量定理
dp d dt dt dpx d dt dt
m v
i 1 i
n
i
Fi
i 1 n
n
e
m v
i 1
n
i ix
Fix
i 1
e
分量形式
dp y
d dt dt
m v
i 1
n
n
i iy
Fiy
i 1
n
n
e
dpz d dt dt
m v




2. 质点组的角动量守恒定律
若
dJ M 0 dt
J 恒矢量
n d n e e mi yi zi zi y yi Fiz zi Fiy ＝0 dt i 1 i 1 n d n e e mi zi xi xi z zi Fix xi Fiz ＝0 dt i 1 i 1 n d n e e mi xi yi yi xi xi Fiy yi Fix ＝0 dt i 1 i 1
分量如 何写？
rc
m r
i 1 n
n
i i
mi
i 1
o
m2 r2
x
50
40
30
20
10
0
-10
0
5
10
15
20
25 t
30
35
40
45
50
少数几个质点
xc
m x
i 1 n i
n
i
m
i 1
yc
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
zc
m z
i 1 n i
n
km1m2 1 km1m2 1 2 2 m1v1 m2 v2 a 2 2 a/2
解得
v1 m2
2k 2k , v2 m1 a m1 m2 a m1 m2
用动能定理
km1m2 1 1 2 2 d m1v1 m2v2 2 dr 2 r 2
i
i
r1
r
f 21
i
2
r2
2. 质点组的机械能守恒定律 若系统的内力和外力都为保守力， 则有机械能守恒
E T V
3. 柯尼希定理
质心系
ri rc ri
1 T mi rc ri 2 i 1
n


2
n 1 1 mi rC2 mi ri 2 rC 2 2 i 1
mvx MU 0 vx U V cos , vy V sin M m 解出 vx cos , v y V sin , U V cos M m M m
m 2M m 2 v v v V 1 cos 2 m M
i
i
m
i 1
i
不均匀的连续体
xc
V
xdm
V
dm
yc
V
ydm
V
dm
zc
V
zdm
V
dm
3.Fra Baidu bibliotek质点组的动量守恒定律 若
F
i 1
n
e
i
0
dp 0 dt
p mvc 恒矢量
px mvcx 恒矢量
p y mvcy 恒矢量
F ix