3-2正规子群和商群

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§2 正规子群和商群
1. 正规子群的定义 2.正规子群的性质
3.商群
2014-4-9
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一、正规子群的定义
定义 1 N G 且 a G , aN Na ,则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群） ，记作
N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群. 例2 任意群 G 的中心
证明： ①N G / N ，故非空； ② 有乘法运算 (aN )( bN ) ( ab) N ； ③ ( aNbN )cN aN ( bNcN ) (abc ) N ，有结合律； ④ ( eN )( aN ) aN ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ (a N )(aN ) eN ,有逆元.
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定理6
有限交换群G为单群的充分必要条件是, G 为素数.
证明:
设 G 为素数.则G是一个素阶循环群 , 从而 反之, 设G是单群且G n 1.在G中任取
G显然是一个单群 . 元素a e.若 a n, 则由于G是交换群, 故 e a G. 这与G是单群矛盾 .因此必a n , 从而G a 为n阶循环群, 再由定理5可知, n必为素数.
N H G ，且 N G，则 N H .
设是群G到群G的一个同态满射 , 则在之下 G的正规子群的像是 G的一个正规子群 , G的 正规子群的逆象是 G的一个正规子群 .
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四、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab ) N 做成群.
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五 商群的应用
定理5 设G是一个pn阶有限交换群,其中p是一个素数,则 G有p阶元素,从而有p阶子群. 证:
对n用数学归纳法 . 当n 1时, G是p阶循环群, 则G的生成元就是一个 p阶 元, 定理成立. 假定定理对阶为 pk(1 k n)的交换群成立 , 下证对 阶为pn的交换群G定理成立. 在G中任取a e, 若p a , 令
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二、正规子群的性质 性质1 设 N G ，则
N 是 G 的不变子群
a G ,有 aN Na a G ,有 aNa1 N a G ，n N ,有 ana 1 N
性质2 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群. 性质3 不变子群与子群的乘积是子群； 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
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例
n次交代群A n 是n次对称群Sn的一个正规子群 . 证 :由于任意n次置换与其逆 1有相同的奇偶 性, 从而易知A n 1 A n , 故 A n Sn .
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思考题1 我们知道“子群”的概念具有传递性: N H ，H G N G ，那么“正规子群”是否也具有传递性呢？ N H, H G N G ？
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四、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab ) N 做成群.
定义 2
N G ，则称 G / N {aN | a G} 关于 aN bN ( ab ) N 做成的群为 G 关于
设
N 的商群.
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6)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
(aN )(bN ) ( ab) N ( ba) N ( bN )( aN )
7)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群. （设 G ( a) 为循环群, N G , 由于循环群为交换群，且循环群的子群为 循环群，故 N G . r r r b G, b a bN a N (aN ) 所以 G / N {bN | b G} ( aN ) 为循环群.）
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推论 Pq(p,q互为素数) 阶交换群必为循环群.
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六 哈密顿群与单群 定义2 设G是一个非交换群.如果G的每个子 群都是G的正规子群,则称G是一个哈密尔 顿群. 定义3 阶大于1且只有平凡正规子群的群,称 为单群. 例6 四元数群 G={1,i, j, k, -1 –i, -j, -k} 是一个哈密尔顿群.
例5 S4 K4 {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} B4 {(1), (12)(34)}
B4 K4 K4 S4 B4 不是 S4 的不变子群.
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性质4
N H , H G ，但 N 未必是 G
的不变子群，即无传递性. 性质5 定理2
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小结 1.正规子群的定义及性质 2.商群及哈密尔顿群 作业：2. 3. 7
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C (G ) {c G | a G, ca ac}
都是正规子群. 例3 交换群的子群 都是正规子群.
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例4 G S3 {(1},(12),(13),(23),(123),(132)}
H {(1), (12)}
解：
N {(1), (123), (1 3 2)}
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商群有下列常用的性质: 1)商群 G / N 的阶＝ [G : N ].ห้องสมุดไป่ตู้2)如果 G 是有限群, 则商群
G G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ . N 3)有限群的商群还是有限群, 且其任一
商群的阶是群阶数的因数. 4) N
G , 则 e eN N 为商群 G / N
的单位元, a 1 N 为 aN 的逆元.
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a ps, 则 a s p, 定理成立 . 若p不整除 a , 令 a m 1, 则(m ,p) 1. 由于 m pn, n p , H m 故m n.令H a , 则由于G是交换群 ,故 n 1 n. m 于是由归纳假设 , 群 G 有p阶元, 任取其一 H 设为bH , 且 b r , 则 G (bH)r b r H r H, 从而p r , 令r pt, 则 b t p.
证: 首先,G是非交换群显然.其次,由上一章习题2.7 知G的真子群只有
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1 , i , j , k . 而 1 G显然.又令 N i , x G , 则由于N {1,1, i,i, }, 故易知 {x , x , xi, xi} {x , x , ix ,ix}, 即xN Nx, 从而 i G. 同理可证 j 与 k 也是G的正规子群 . 因此G是一个哈密尔顿群 .
因为 H (13) {(13), (123)}
(13) H {(13), (132)} ，所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1) N {(1), (123), (132)} N (1 )
(12) N {(12), (23), (13)} N (1 2)
，所以 N 是 G 的不变子群.