解析几何 丘维声 第一章1节

av1 av2 L avn av .
A3
A5
av3
av O
av5 av1
av4
A2
A4
av2
A1
多边形法则：两个向量加法的三角形法则可以被推广到 n 个向
量相加的情形. 只要把代表这 n 个向量的有向线段首尾相接，以第一
个向量的始点作为始点，以最后一个向量的终点作为终点的有向线
段就是这
定义
1.1
对于两个向量
av,
v b
，作有向线段
线cuvAuB段uv 表avuAu示Cuvbva表v，，示即再的uA作u向Cuv有量向uAcvu线Buv称段为uBuBuuCauvCvuv与.表b示v 之bv和，，则记有为向
这种求两个向量之和的方法称为向量加法 (addition)的三角形法则.

uuuv OB

uuuv BC

uuuv OC

uuuv OA
uuuv AC

av

v (b
cv)
(3)
v 0

av

av

v 0

av
.(4)
av

(av)

v 0
.
证 ((34av))作 作0(vaOvuuAauuv)BAuuvvuAOuuauavvBuOuvv， ，则uBOuOuuuuAuvOuAuvvuBuAuvuAOu0vuAuuvA.uva则v0v.av.所. □以
(1) 1av av；
(2) 结合律： (av) ()av；
(3) 第一分配律： ( )av av av；
(4)
第二分配律：
(av

v b)

av

v b
．
第一分配率也叫左分配率；第二分配率也叫右分配率．
定理 1.3.1(数乘运算的性质) 对于任意的向量 av，bv 以及
av,
v b
和
cv ，有
(1)
交换律：
av

v b

v b

av .
(2)
结合律：
av

v (b

cv)

(av

v b)

cv
.
(3) (4)
v 0 av

a(vava)v0v0v.
av
.
B v b
O
av
av
C
v b
A
C
cv
av

v b

cvav
v b v b
cv
B v
b
O
av
A
(vector). (什么是量？) 物理中的力、位移、速度、加速度等都是向量. 在本课程中，向量就是有向线段, 也就是几何向量.
§1.1 向量的概念
几何向量：对于空间中的一条直线段 AB ，规定两个
端点中的一个(A)为始点，另一个端点(B)为终点，就得
到一个有向线段，记为
uuuv AB
.

一个向量
av可用有向线段
uuuv AB
表示，有向线段的始
点 A 就是向量的始点，有向线段的终点 B 则是
向量的终点.
§1.1 向量的概念

一个向量
av
可用有向线段
uuuv AB
表示，有向线段的始
点 A 就是向量的始点，有向线段的终点 B 则是
向量的终点.

向量可用符号
av,
v b,
cv,
L
表示，或
uuuv AB
实数 , ，有
(1) 1av av；
(2) 结合律： (av) ()av；
(3) 第一分配律： ( )av av av；
(4)
第二分配律：
(av

v b)

av

v
b
．
第一分配率也叫左分配率；第二分配率也叫右分配率．
证
根据数乘的定义可得(1).
当


0
第一章几何空间的线性结构和 度量结构
轮廓
• 向量及其线性运算：概念、加法与数量乘法、向量组
共线（共面）
• 几何空间的线性结构：仿射坐标与直角坐标、线性运
算、三点（或两向量）共线的条件、线段的定比分点
• 向量的内积：身影和分量、定义与性质、内积的计算、
方向角与方向余弦
• 向量的外积：定义、几何意义、运算规律、计算、二重
av,
v b
(作为有向线段)
相互平行．
v 零向量：v长度为 0 的向量称为零向量(zero vector)，记为 0 ．注意0 0 ．
1. 零向量就是始点与终点重合的向量. 2. 零向量所代表的方向是不确定的. (与定义 1.1.1 不一致) 我们约定：零向量可以指向任何一个方向.
单位向量(unit vector)就是长度 1 为的向量．对于非
(1) av的长度是 av的长度的 倍，即 av av ； (2) av的方向规定为：当 0 时与 av同向，当 0 时与 av反向. ( 0 怎么办？)
0: 0:
A
av
av
av
av
O
B
av av
§1.3 向量的数量乘法
向量 av 也称为数 与向量 av 的数乘(scalar multiplication of vector). 由数 与向量 av得到向量 av的运算称为数乘运算.

v (b

cv)

(av

v b)

cv
.
证明
(2)
作
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uuuv OA

av
，uAuBuv

v b
，uBuCuv

cv
.
则根据向量加法的三角形法则，有
uuuv OB

uuuv OA

uuuv AB

av

v b
，
uuuv AC

uuuv AB

uuuv BC

v b

cv
．
因此
(av

v b)

cv
因此
uuuv AB
//
uuuv DC
AB AO OB OC
且
uuuv AB

uuuv DC
．故
ABCD
DO DO OC
是平行四边形．

DC
□
．
§1.3 向量的数量乘法
定义 1.3 由一个实数 和一个向量 av按照下面的方法确定的 向量称为数 与向量 av的数量乘积，记作 av.
如图， 中，
uuuv OuuAuv
OC
avOuuAu，v OuOuuuBuvBuvbvav
.

则
v
b.
对
角
线
向
量
证明
因为
uuuv AC

uuuv OB

v b
，所以按照
三角形法则，
uuuv OC

uuuv OA

uuuv OB

av

v b
.
□
定理
1.2.2(加法运算的性质)
对于任意的向量
av

v b

av

v (b )
．其几何意义如图所示．
v
O
b
B
av

v (b )
av
av

v b
v
b
C
A
av

v b
:
av

v (b )

uuuv BA
v
O
b
B
av

v (b )
av
av

v b
v
b
C
A
av

v b
:
av

v (b )

uuuv BA
如
果
将
av,
v b
平
行
移
动
到
公
定义 1. 4(P6) 设 av1, av2 ,L , avn 是一组向量. 如
果把它们平行移动到公共的始点后，表示这组向量 的有向线段是共线(共面)的，则称这组向量是共线 (collinear)(共面(coplanar))的.
注 显然零向量与任意向量共线；共线的向量 一定共面.
§1.2 向量的加法
0: 0:
A
av
av
av
av
O
B av
av
由定义直接得到下列数乘的简单性质：
(1) 0av 0v， (1)av av
(2)
v
0

v 0
.
(3)
av

v 0
，则要么


0
，要么
av

v 0
.
定理
1.3.1(数乘运算的性质)
对于任意的向量
av ，
v b
以及实数
, ，有

uuuv DC

uuuv CB

uuuv BB1

av

v b

cv
．
□
D
C
O
A
B
例 3 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
uuuv uuuv uuuv uuuv 证 设四边形 ABCD 对角线的交点为 O．由条件可得 AO OC ，DO OB ．所
以
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
av
A
B v
av

v b
C
b
av

v b
O
av
A
例 1 设 3 个向量 av,bv,cv不共线．证明：将它们顺次首尾相连能
构成一个三角形的充分必要条件是
av

v b

cv

v 0
．
证
设
uuuv OA

av,
uuuv AB

v b,
uuuv BC

cv
．则
av

v b

cv

uuuv OC
．它们能构成三角
定义
1.1.2
如果向量
av 与
v b
长度相等并且方
向相同，则称
av与
v b
是相等的向量，记作
av

v
b.
向量经平行移动后得到相等的向量. 这种起点可自由选取的向量叫做自由 向量(free vector).
两个向量是否相等，仅与大小和方向
有关，与它们的起点无关．用符号
av
//
v b
表示两个向量
(1)
交换律：
av

v b

v b

av
.
证明
(1) 在
YOACB
中，
uuuv OA

uuuv BC

av
，
uuuv uuuv v
OB AC b .
根据三角形法则有
av

v b

uuuv OA

uuuv AC

uuuv OC

uuuv OB

uuuv BC

v b

av
.
(2)
结合律：
av
表示.
注意
向量与数量在记号上的区别：
a

av
，
AB

uuuv AB
.
av
av

uuuv AB

v b
B v b
A
向量的长度(模，模长)：在空间中取定单位长度后，线段 AB
的长度称为向量
uuuv AB
(或
av)的长度(length)或模(norm)，记作
uuuv AB
或
av .
向量的相等：规定长度相等并且方向相同的有向线段表示 同一个向量.
零向量 av，用 av0 表示与 av同方向的单位向量，称为向量 av
方向的单位向量．
为向定量义av的1.反1.3向量与(负向向量量av)大，小记相为同但av方. 向相反的向量称
把一个向量的始点与终点互换就得到原向量的反向
uuuv uuuv 量，即 BA AB ．
从反向量的定义可以知道 (av) av，即 av 的反向量是 av．
或
av

v 0
时，直接计
算可知(2)，(3)，(4)成立.
以下设 0,
av

v
0.
定理
1.3.1(数乘运算的性质)
对于任意的向量
av，
v b
以及实
数 , ，有
(1) 1av av；
(2) 结合律： (av) ()av；
证
以下设 0,
av

v 0
.
(2) 当 0 时自然成立. 设 0 . 因为
n
个向量之和：
uuuv OA1

uuuv A1A2
L

uuuuuuuuv An2 An1

uuuuuuv An1An

uuuuv OAn
．
定义
1.2.2(向量的减法
subtraction)对于两个向量 av,
v b
，称
向量
av

v (b )
为
av
减
v b
的
差
，
记作
av

v b
.
即定义向量的减法为
共
的
起
点
O
，
以
av,
v b
为
邻
边
作
VOAB
，使得
uuuv OA

av
，OuuBuv

v b
.
则
VOAB
的第三边向量
uuuv BA
就是
av

v b
.
事实上，
uuuv BA

uuuv BO

uuuv OA

uuuv OA

uuuv BO

uuuv OA

uuuv (OB)

av

v (b )

av

外积
• 向量的混合积：几何意义和性质、计算、三向量（或四
点）共面的条件、拉格朗日恒等式、向量代数在球面三角 中的应用
§1 向量及其运算
• 基本概念： 向量；向量的长度；相等的向量；零 向量；单位向量；反向量；共线；共 面
基本运算：向量的加法，数量乘法
§1.1 向量的概念
定 义 1.1.1 既 有 大 小 又 有 方 向 的 量 称 为 向 量
v b
.
v
O
b
B
av

v (b )
av
av

v b
v
b
C
A
av

v b
:
av

v (b )

uuuv BA
注 1. 在有的书上，向量减法用一个向量方程来定义，即
av

v b
是方程
xv

v b

av
的解
xv
.
这两种定义是等价的．
2. 在一个向量的等式中，移项法则成立.
B
v b
av

v b
O

av
，
uuuv AD

v b
，
解 由向量相等的定义可得
uuuuv AC1

uuuv AB

uuuv BD

uuuuv DC1

av

v b

cv
，
uuuv A1C

uuuuv A1B1

uuuuv B1C1

uuuv C1C

av

v b

uuuuv CC1

av

v b

cv，
uuuuv DB1
形当且仅当
C
与
O
重合，即
av

v b

cv

uuuv OC

v 0
．
□
A1
cv B1
A av
C1 v b
D1
D
B
C
uuuv AA1
例cv．2 用如av图,bv,，cv来在表平示行对六角面线体向AB量CDuAuCuuv1A, 1uABu1u1CCv,1DuDu1Buu中v1 . ，
uuuv AB
向量加法的三角形法则是合乎情理：
一个物体从 A 点移到 B 点，然后再从 B 点 移到 C 点，这两个运动合成的结果就是物体从 A 点移到了 C 点.
§1.2 向量的加法
由定义立即得到三角不等式：
av

v b

av

v b
．
v b
av
A
av
C
B
v b
v b
av
BO
C A
Y 以
av定, bv理为1.2邻.1(平边行的四边形O法AC则B)