三、有电介质时电场计算

三、有电介质时电场的计算 步骤：

[例1]带电分别为正负Q 的两均匀带电导体板间充满相对介电常数为εr 的均匀电介质。求：(1)电介质中的电场； (2)

解：(1)求电场

·求D ：画高斯面如图

S n 下 +Q -Q

εr -q ' q '

S 0)

由 ⎰S D ⋅d S = q f 内 DS 0 = (Q /S )S 0 ⇒ D = (Q /S ) = σf ·求E ： E = D /ε = σf /ε0εr

= Q /(S ε0εr )

思考：电介质中某点的场强< 自由电荷在 该点产生的场强，为什么？ (2)求束缚电荷

·求P ：

·求σ'、q '：

E = E f εr (< E f )

σf

ε0εr

P = ε0(εr -1)E = ε0(εr -1) P = (1 - 1 εr ) σf

σ'上= P ⋅ n 上= - P = -(1 - 1 εr )σf 1

εr q '上= - (1 - ) Q

上表面 σ'下= P ⋅ n 下 = P = (1 - 1

εr )σf

1 εr

q '下 = (1 - ) Q

(

练习：请计算 E ' =？

[例2]带电Q 的均匀带电导体球外有一同心的均匀电介质球壳(εr 及各半径如图)。求： (1) 电(2)(3)电介质表 面的束缚 电荷。

解:(1)场强分布 ·求D ：取高斯面如图 由 ⎰S D 1⋅d S = q f 内 经对称性分析有

同理

n D 1 = Q

4πr 2

(R 1≤ r ≤R 2) D 1(4πr 2) = Q

D 2 = Q

4πr 2

(R 2≤ r <∞)

·求E ： E 1 = D 1/ε0εr

同理

(2)导体球的电势

(3)电介质表面的束缚电荷 ·求P ：

E 1 = Q

4πε0εr r 2

(R 1≤ r ≤R 2) E 1 =

E f 1

εr

(

E 2 = Q

4πε0 r 2

(R 2≤ r <∞)

E 2 = E f 2

1 U = ⎰ E ⋅ d l

R 1

∞ = ⎰ E 1 ⋅ d l

R 1

R 2 ∞

+ ⎰ E 2 ⋅ d l R 2 = … (请自己算)

) Q 4πε0εr r 2

P = ε0(εr -1)E 1 = ε0(εr -1)

P = (1 - 1

εr Q 4πr 2

(R 1≤ r ≤R 2)

·求σ'、q '：

外表面

内表面

·讨论：题给系统也可看作三层均匀带电球 面。

由均匀带电球面内、外的场强，用叠加原 理可得，

r = R 2 σ'外= P ⋅ n 外= P | σ'外 = (1 - 1

εr ) Q

4π R 22 q '外= σ'外(4πR 22) Q

q '外 = (1 - 1 εr ) (< Q )

)

σ'内 = -(1 - 1

εr Q 4π R 12 q '内 = -(1 - 1 εr

) Q

介质内

q '内的场强抵消了部分Q 的场强。 介质外

q '内、 q '外的场强抵消。

[例3]求均匀极化的电 介质球在球心o 处 产生的退极化场(即束

缚电荷产生的场)

。设极化强度矢量为P 。 解：·电介质球表面某

处的束缚电荷面密度

E 1 = Q +q '内

4πε0r 2

Q - (1- 1 ε

r )Q

4πε0r 2 =

= Q

4πε0εr r 2

(R 1≤ r ≤R 2) E 2 = Q +q '内+

q '外

4πε0r 2

= Q

4πε0 r 2

(R 2≤ r <∞)

σ' = P ⋅ n = P cos θ

·电介质球表面面元d S 上的束缚电荷 d q ' = σ' d S = P cos θ R 2sin θ d θ d ϕ

·d q '在球心o 处产生的电场

z 向分量

·整个球面上的束缚电荷在球心o 产生的 电场

补充： 的成立条件

(1)同种电介质充满全部电场空间；

E = E f

εr

d E ' = 1

4πε0 d q '

R 2

P 4πε0 d E z ' = - d E 'cos θ = - cos 2θ sin θ d θ d ϕ

P 4πε0 E z ' = ⎰ d E z '

(球面) ⎰π cos 2θ sin θ d θ ⎰2π d ϕ

= - P

3ε0

= -

(2)电介质按等势面方式填充(即把两等势面 间的空间全部充满)。 ·电介质按等势面填充

兰—带电导体， 黄---电介质

·电介质按电力线管填充

III * 静电场的边界条件

研究：电介质界面两侧D 的关系 及

E 的关系

一、边界条件

1. D 的法向分量连续(当界面上无自由电荷

时)

·边界某处两侧的电位移矢量分别为D 1

、

D 2，在该处附近取扁盒状高斯面，其底 面积为∆S (很小)。有 ⎰S D ⋅d S = 0

⎰S D 1⋅d S + ⎰S D 2⋅d S = 0 D 1⋅n 1∆S + D 2⋅n 2∆S = 0 ·因n 1 = n ， n 2 = -n 有

n D n 2

D 1 + D 2 = 0

n 1