全称量词

1．4.1全称量词

1．4.2存在量词

学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．

知识点一全称量词、全称命题

思考观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m≤5；

Q：对所有的m∈R，m≤5.

(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．

答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．梳理(1)概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．

(2)表示

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意x 属于M，有p(x)成立”．

(3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，

证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．知识点二存在量词、特称命题

思考观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m>5；

Q：存在一个m0∈Z，m0>5.

(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)

答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．

梳理(1)存在量词：通常指的是短语“存在一个”“至少有一个”，并用符号“∃”表示．(2)特称命题：①定义：含有存在量词的命题．②记法：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．

(3)特称命题真假判定：要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

类型一全称命题与特称命题的识别

例1判断下列命题是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．

(1)自然数的平方大于或等于零；

(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；

(3)有的函数既是奇函数又是增函数；

(4)对于数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

n n ＋1，总存在正整数n 0，使得0n a 与1之差的绝对值小于0.01.

解 (1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.

(2)是特称命题，表示为∃(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|

2＝1.

(3)是特称命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数． (4)是特称命题，∃n 0∈N *，0|1|0.01－＜，n a 其中0n a ＝n 0

n 0＋1.

类型二 全称命题与特称命题的真假的判断 例2 判断下列命题的真假． (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；

(3)对每一个无理数x ，x 2也是无理数； (4)存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0； (5)存在两个相交平面垂直于同一条直线． 解 (1)2是素数，但2不是奇数．

所以全称命题“所有的素数都是奇数”是假命题． (2)任意x ∈R ，总有x 2≥0，因而x 2＋1≥1. 所以全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题． (3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．

所以全称命题“对每一个无理数x ，x 2也是无理数”是假命题．

(4)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以特称命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0”为假命题．

(5)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直同一条直线，所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题．

反思与感悟 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：

(1)要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可，否则命题为假．

(2)要判定一个全称命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x ，p (x )都成立，但要判定一个全称命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x 0，使p (x 0)不成立即可． 跟踪训练2 (1)举反例说明下列命题是假命题． ①∀x ∈R ，都有|x |＝x ； ②∀x ∈R ，都有x 2＝x ；