高等代数线性方程组ppt课件
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线性方程组
第三章 线性方程组
线性方程组
主要内容：
➢ 消元法 ➢ n 维向量空间 ➢ 线性相关性 ➢ 矩阵的秩 ➢ 线性方程组有解的判断定理 ➢ 线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22
x2
a2n xn
§1 消元法
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22
x2
a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
Ax b
其中
a11 a12
A
a21 as1
a22 as2
a1n a2n asn
x1
x
x2 xn
0 0
x1 3x2 6x3 5x4 0
§1 消元法
线性方程组 ● n 维向量
§2 n维向量空间
§2 n维பைடு நூலகம்量空间
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1, a2 , , an ) 称为数域P上的n维
向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 , , an ), (b1,b2 , ,bn )
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若
考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称 V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律： k( ) k k
分配律： (k l) k l
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) 0 O (2) (1)
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn
d2
(cii 0)
cnn xn dn
方程组有唯一解。
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1
➢ 用一个非零的数乘以矩阵的某一行； ➢ 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
➢ 交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
线性方程组与增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
是一一对应的
a11 a12
A
a21 as1
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
§1 消元法
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。 当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
线性方程组 ● 线性方程组的矩阵表示法
b1
b
b2 bs
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
a22 as2
称为该线性方程组的增广矩阵。
a1n b1
a2n asn
b2 bs
A
b
一个线性方程组的增广矩
阵可通过初等行变换化为
怎样的简单形式？
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以B 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。
线性方程组
§1 消元法
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn
d2
(cii 0)
crr xr c x r,r1 r1 crn xn dr
可改写为
自由未知量
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn
c22 x2 c2r xr
d2 c x 2,r1 r1 c2n xn (cii 0)
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn
方程组有无穷多解。
线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
例2、 解线性方程组
5x1 x2 2x3 x4 7 2x1 x2 4x3 2x4 1 x1 3x2 6x3 5x4 0
向量加法满足以下四条运算规律
交换律： ( ) ( )
结合律：
零向量：O = (0，0，…，0)
有零元： O 有负元： ( ) O
负向量：- = (-a1，-a2，…，-an)
线性方程组
§2 n维向量空间
向量数乘满足以下两条运算规律
有单位元： 1 结合律： k(l ) (kl)
§1 消元法
线性方程组
定理：在齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21
x1
a22
x2
a2n xn
0
as1x1 as2 x2 asn xn 0
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、 解齐次线性方程组
25xx11xx22
2x3 x4 4x3 2x4
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1
c22 x2 c2r xr c2n xn d2
crr xr crn xn 0
dr d r 1
(cii 0)
0 0
0 0
线性方程组
§1 消元法
当 dr1 0 时，该线性方程组无解。 当 dr1 0 时，该方程组有解，并分两种情况：
的对应分量都相等，即
ai bi , (i 1, 2, , n)
就称这两个向量相等，记作
线性方程组 ● 向量的运算
§2 n维向量空间
加法： (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 减法： (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 数乘： k (ka1, ka2 , , kan ), k P
第三章 线性方程组
线性方程组
主要内容：
➢ 消元法 ➢ n 维向量空间 ➢ 线性相关性 ➢ 矩阵的秩 ➢ 线性方程组有解的判断定理 ➢ 线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22
x2
a2n xn
§1 消元法
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22
x2
a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
Ax b
其中
a11 a12
A
a21 as1
a22 as2
a1n a2n asn
x1
x
x2 xn
0 0
x1 3x2 6x3 5x4 0
§1 消元法
线性方程组 ● n 维向量
§2 n维向量空间
§2 n维பைடு நூலகம்量空间
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1, a2 , , an ) 称为数域P上的n维
向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 , , an ), (b1,b2 , ,bn )
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若
考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称 V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律： k( ) k k
分配律： (k l) k l
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) 0 O (2) (1)
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn
d2
(cii 0)
cnn xn dn
方程组有唯一解。
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1
➢ 用一个非零的数乘以矩阵的某一行； ➢ 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
➢ 交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
线性方程组与增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
是一一对应的
a11 a12
A
a21 as1
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
§1 消元法
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。 当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
线性方程组 ● 线性方程组的矩阵表示法
b1
b
b2 bs
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
a22 as2
称为该线性方程组的增广矩阵。
a1n b1
a2n asn
b2 bs
A
b
一个线性方程组的增广矩
阵可通过初等行变换化为
怎样的简单形式？
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以B 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。
线性方程组
§1 消元法
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn
d2
(cii 0)
crr xr c x r,r1 r1 crn xn dr
可改写为
自由未知量
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn
c22 x2 c2r xr
d2 c x 2,r1 r1 c2n xn (cii 0)
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn
方程组有无穷多解。
线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
例2、 解线性方程组
5x1 x2 2x3 x4 7 2x1 x2 4x3 2x4 1 x1 3x2 6x3 5x4 0
向量加法满足以下四条运算规律
交换律： ( ) ( )
结合律：
零向量：O = (0，0，…，0)
有零元： O 有负元： ( ) O
负向量：- = (-a1，-a2，…，-an)
线性方程组
§2 n维向量空间
向量数乘满足以下两条运算规律
有单位元： 1 结合律： k(l ) (kl)
§1 消元法
线性方程组
定理：在齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21
x1
a22
x2
a2n xn
0
as1x1 as2 x2 asn xn 0
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、 解齐次线性方程组
25xx11xx22
2x3 x4 4x3 2x4
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1
c22 x2 c2r xr c2n xn d2
crr xr crn xn 0
dr d r 1
(cii 0)
0 0
0 0
线性方程组
§1 消元法
当 dr1 0 时，该线性方程组无解。 当 dr1 0 时，该方程组有解，并分两种情况：
的对应分量都相等，即
ai bi , (i 1, 2, , n)
就称这两个向量相等，记作
线性方程组 ● 向量的运算
§2 n维向量空间
加法： (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 减法： (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 数乘： k (ka1, ka2 , , kan ), k P